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1、中学数学解题中极限思想的渗透摘要:常规数学题解法千变万化,似乎与极限不相干,但极限思想的引入,使有些数学问题的解题思路忽然开朗,解法大为简单。关键词:数学解题极限数学教育家g•波利亚指出“对于任何一门学科,我们耍掌握两方面的东西——知识和技巧”,对于数学学科而言,知识是书本上的概念、定义、公理、定理、命题、性质和法则等,技巧是书本的内容所反映的数学思想与方法。数学解题既是数学知识和数学思想方法的运用,也是解题者思维能力的综合体现。数学解题方法多种多样,各有巧妙不同,很多数学题似乎也与极限不搭界,正是在这貌无关的表面背后隐藏着无限玄机,恰当
2、引入极限的思想对有些数学解题带来了奇妙的效果。【极限准备】:1•当时x-0,2•当时x-0-,・一8(k>0);3.当时X—0+,■->+oo(k>0);4•初等函数f(x)的定义域为d,则・f(x)=f(x0)o非极限类中学数学解题中极限思想的运用源于偶然。在实数大小比较中有如下问题:从甲地到乙地水路的距离为s,在平静的水面上,以固定速度V来去一趟花时tl,若去时顺水,回时逆水,水流速度为vO(vO3、,Av2-v02>0,从而有tl-t2<0Atl4、多。以后陆续发现很多数学问题渗透极限思想后简化了解题过程。问题1(函数类):函数y二■的值域是()a.[一-1]b.(1,+°°)c.[-1,1)d.(-°°,-1]U(1,+8)通常的解法是用反函数的办法来求,解法如下:解:由y二■可得x2-B,x220,・・・・20?圮yWT或y>l,从而得答案为do而我们用极限的思想考虑有:x2—l-时,yf-8;当x2—l+时,yf+oo。可见,答案为d。问题2(三角类):当0V?兹V■时,正确的是()a.cos?兹Vsin?兹b.cos?兹Vtan?兹c.Ian?兹Vcos?兹d.sin?兹Vi
5、an?兹常用方法是单调性和特殊值法。而本题用特殊值法容易出现两个答案,而用极限的思想则可轻松解决。解:当x—0时,cos?兹一1,sin?兹一0,tan?兹—0;当x—・时,cos?兹一■,sin?兹〜■,tan?兹~1。可见在0V?兹V■范围内,sin?兹,cos?兹的大小一目了然,而cos?兹,tan?兹的大小无法确定,这就排除了a,b,c,答案只能是dTo问题3(解几类):设抛物线x2二2py(p>0),证明在y轴的正向存在一点m,使得抛物线的过m点的弦pq,有■+■取定值。分析;假定存在这样的点m(0,y0),当pq丄y轴时,p(
6、x0,y0),q(-xO,yO),贝U,■+■二■+■二■二・。当q-o,则p点在无穷远处,有
7、mq
8、fy0,
9、mp
10、f+°°,从而■+■—■,则有y02=py0?圮y0二p。可以猜想m点为(0,p)o下面只需证明■+■取定值即可。证明:存在点m(0,p),过m点的直线方程可设为x=tcos?兹y=p+tsin?兹(?兹为直线的倾斜角,t为参数),代入抛物线得:t2cos2?兹-(2psin?兹)t-2p2二0,它的两根即为
11、tl
12、=
13、mp
14、和t2
15、=
16、mq
17、,则tl+t2=B,tl•t2=B,问题4(数列类):在数列{an}中,al二1
18、,对任意nWn+,总有an+1二■,是否存在实数a,b使得an=a-b(-B)n对于任意正整数n恒成立?若存在,给出证明,若不存在,说明理由。分析:若这样的a,b存在,由an=a-b(-B)n,运用极限思想,■,对an+l二■两边取极限有3二・,得到a二0或a=3o若沪0,则数列bn}应以1为首项,以-■为公比的等比数列,从而al=l,s2二-■,这与an+l=■的结论矛盾,应舍去。若a二3,将al二1代入an=a-b(-■)!!得到b二-3,同样验证al,a2也矛盾。所以,满足题意的a,b不存在。由此可见,极限思想可以广泛运用于函数、三
19、角、解几和数列等各类数学解题,运用得当则大大化解了解题难度,也可以用于定性分析,指导解题思路。极限思想的运用源于偶然,实则必然。极限思想和极限运算是运动变化中的思想法则和规律,静态的数学问题则