中学数学解题中极限思想的渗透

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1、中学数学解题中极限思想的渗透摘要：常规数学题解法千变万化，似乎与极限不相干，但极限思想的引入，使有些数学问题的解题思路忽然开朗，解法大为简单。关键词：数学解题极限数学教育家g•波利亚指出“对于任何一门学科，我们耍掌握两方面的东西——知识和技巧”，对于数学学科而言，知识是书本上的概念、定义、公理、定理、命题、性质和法则等，技巧是书本的内容所反映的数学思想与方法。数学解题既是数学知识和数学思想方法的运用，也是解题者思维能力的综合体现。数学解题方法多种多样，各有巧妙不同，很多数学题似乎也与极限不搭界，正是在这貌无关的表面背后隐藏着无限玄机，恰当

2、引入极限的思想对有些数学解题带来了奇妙的效果。【极限准备】：1•当时x-0,2•当时x-0-,・一8(k>0)；3.当时X—0+,■->+oo(k>0)；4•初等函数f(x)的定义域为d,则・f(x)=f(x0)o非极限类中学数学解题中极限思想的运用源于偶然。在实数大小比较中有如下问题：从甲地到乙地水路的距离为s,在平静的水面上，以固定速度V来去一趟花时tl,若去时顺水，回时逆水，水流速度为vO(vO

3、,Av2-v02>0,从而有tl-t2<0Atl

4、多。以后陆续发现很多数学问题渗透极限思想后简化了解题过程。问题1(函数类)：函数y二■的值域是()a.[一-1]b.(1,+°°)c.[-1,1)d.(-°°,-1]U(1,+8)通常的解法是用反函数的办法来求，解法如下：解：由y二■可得x2-B,x220,・・・・20?圮yWT或y>l,从而得答案为do而我们用极限的思想考虑有:x2—l-时，yf-8；当x2—l+时，yf+oo。可见，答案为d。问题2（三角类）：当0V?兹V■时，正确的是（）a.cos?兹Vsin?兹b.cos?兹Vtan?兹c.Ian?兹Vcos?兹d.sin?兹Vi

5、an?兹常用方法是单调性和特殊值法。而本题用特殊值法容易出现两个答案，而用极限的思想则可轻松解决。解：当x—0时，cos?兹一1,sin?兹一0,tan?兹—0；当x—・时,cos?兹一■,sin?兹〜■,tan?兹~1。可见在0V?兹V■范围内,sin?兹，cos?兹的大小一目了然，而cos?兹，tan?兹的大小无法确定，这就排除了a,b,c,答案只能是dTo问题3（解几类）:设抛物线x2二2py（p>0），证明在y轴的正向存在一点m,使得抛物线的过m点的弦pq,有■+■取定值。分析；假定存在这样的点m（0,y0）,当pq丄y轴时，p（

6、x0,y0）,q（-xO,yO）,贝U，■+■二■+■二■二・。当q-o,则p点在无穷远处，有

7、mq

8、fy0,

9、mp

10、f+°°,从而■+■—■,则有y02=py0?圮y0二p。可以猜想m点为（0,p）o下面只需证明■+■取定值即可。证明：存在点m（0,p）,过m点的直线方程可设为x=tcos?兹y=p+tsin?兹（？兹为直线的倾斜角，t为参数），代入抛物线得：t2cos2?兹-（2psin?兹）t-2p2二0,它的两根即为

11、tl

12、=

13、mp

14、和t2

15、=

16、mq

17、,则tl+t2=B,tl•t2=B,问题4(数列类)：在数列｛an｝中,al二1

18、,对任意nWn+,总有an+1二■，是否存在实数a,b使得an=a-b(-B)n对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明，若不存在，说明理由。分析：若这样的a,b存在，由an=a-b(-B)n,运用极限思想，■,对an+l二■两边取极限有3二・，得到a二0或a=3o若沪0,则数列bn｝应以1为首项，以-■为公比的等比数列，从而al=l,s2二-■,这与an+l=■的结论矛盾，应舍去。若a二3,将al二1代入an=a-b(-■)!!得到b二-3,同样验证al,a2也矛盾。所以，满足题意的a,b不存在。由此可见，极限思想可以广泛运用于函数、三

19、角、解几和数列等各类数学解题，运用得当则大大化解了解题难度，也可以用于定性分析，指导解题思路。极限思想的运用源于偶然，实则必然。极限思想和极限运算是运动变化中的思想法则和规律，静态的数学问题则