第二章 一微波动方程的分离变量法

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1、第二章一维波动方程的分离变量法数学物理方法MathematicalMethodinPhysics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第1页共19页第二章一维波动方程的分离变量法第二章一维波动方程的分离变量法引言上一章学习的求解数理方程的方法:行波法。其基本思路是借助常微分方程的求解方法等求解通解，再利用初始条件确定通解中的任意常数，确定数理方程中的特解。求通解前作一维波动变换，代入泛定方程。然能用行波法求解的问题很少，适用于求解如无界弦的自由横振动问题。为此，对数理方程的求解还须进一步探索新的方法。其

2、中分离变量法就是求解数理方程的一种最常用的方法。2.1齐次方程混合问题的Fourier解2.1.1定解问题考虑长为，两端固定的弦的自由振动其中，为已知函数。分析:方程是齐次方程，边界条件是齐次边界条件，初始条件是非齐次的。求解：通过这道例题来体会分离变量法的精神思想。第一步：分离变量分离变量（变量分离）如波函数实现了变量分离。于是我们希望求得的一微波动方程的特解只有分离变量的形式，即首先：将代入齐次方程，得。所求特解应为非零解，于是，不解为零。两边同除以，有等式左端只是的函数（与无关），等式右端只是的

3、函数（和无关），于是左右两端要相等，就必须共同等于一个既与无关，又与无关的常数。设为，有19第二章一维波动方程的分离变量法，能分离变量的关键：方程是齐次方程。其次：将代入边界条件：，这时必须有，能分离变量的原因：边界条件是齐次边界条件。最后：就完成了用分离变量法求解泛定方程（数理方程）的第一步。总结：分离变量①目标：分离变量形式的非零解②结果：函数满足的常微分方程和边界条件以及满足的常微分方程。，，③条件：泛定方程和边界条件都是齐次的。第二步：求解本征值问题分析：关于的常微分方程的定解问题特点：微分方

4、程中含有特定常数，定解条件是一对齐次边界条件。并非对于任何值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解；只有当取某些特定值时,才有既满足齐次,又满足齐次边界条件的非零解。定义：的这些特定值称为本征值，相应的非零解称为本征函数。函数的常微分方程定解问题，称为本征值问题。ⅰ.若，特征方程为，则。通解为。利用边界条件：①，则②，则若齐次方程数列式，则只有零解。19第二章一维波动方程的分离变量法，结论：不是本征值。ⅱ.若，则,通解为利用边界条件：①，则。②，则。方程只有零解，所以不是本征值。ⅲ.若

5、，则，特征方程为通解为利用边界条件：①，则②，则，因为，所以。即本征值，，，无穷多个相应的本征函数就是。这样求得的本征值有无穷多个，于是将本征值，本征函数记为,。第三步：求特解，并叠加出一般解。求得本征值问题后，对每一个本征值的方程，可以求得相应的。19第二章一维波动方程的分离变量法，其中，为任意常数，也得到了满足泛定方程和边界条件的特解为，过程说明：1.这样的特解有无穷多个。2.每一个特解都满足齐次方程，齐次边界条件。3.一般说来，单独任何一个特解不可能也恰好满足定界问题中的初始条件。即一般无法找到

6、常数，，满足，。4.偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的任意有限个特解叠加起来，仍然满足齐次方程和齐次边界条件的解，是否满足初始条件？5.把全部无穷多个特解叠加起来只要函数有足够的收敛性（如可以逐项求二阶偏微商），则这样得到的仍然是齐次在齐次边界条件的解。这种形式的解称为一般解。不于的通解，因为一般解不只是满足偏微分方程，而且满足齐次边界条件。如何选择一般解中的叠加系数和？，第四步：利用本征函数的正交性定叠加系数。理论依据：本征函数的正交性，。在两端同除以，逐项积分有19第二章一维波动方程的分离变

7、量法同理，由，两边同乘以并积分会则这样，由初始条件中的和，就可得到叠加系数和，从而求得了整个问题（定解问题）的解。本征函数正交性说明：定解问题边界条件为一，二，三类三种类型时，本征函数正交性，，均成立。2.1.2小结：1利用分离变量求数理方程定解问题的步骤①分离变量条件：方程，边界条件均是齐次的。结果：一个或多个含有待定常数的齐次，齐次边界条件②求解本征值问题③求出全部特解，并进一步叠加出一般解。④利用本征函数正交性定叠加系数。严格的说，上面得到的还只是形式解，对具体问题，还须验证，就非常重要。2分离

8、变量法成功的条件（理论上）：19第二章一维波动方程的分离变量法①本征问题有解。②定解问题的解一定可按本征函数展开（本征函数的全体是完备的），也叫Fourier解法。③本征函数一定只有正交性。2.1.3分析解答解的物理意义特解其中，，，⒈代表一个驻波（standingwave），弦两端固定，自由振动会形成驻波（）正波：反波：驻波⒉：弦上各点的振幅分布。⒊：相位因子⒋：驻波的圆频率，称为两端固定弦的固有频率或本征频率，于初始条件无关。⒌：波数，单位长度上波的