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《第一节-微分方程的基本概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第一节微分方程的基本概念教学目的：理解微分方程的有关概念即微分方程、微分方程的阶、微分方程的解（通解和特解）、初始条件、初值问题。教学重难点：微分方程的同届和特解教法：讲授课时：2一、引例函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系乂可以对客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具有重耍意义.在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就是所谓微分方程.微分方程建立以后，对它进行研究，找出未知函数来，这就是解微分方程.木章主要介绍微分方程的一些基本概念和儿种常用的微分方
2、程的解法。例1一曲线通过点（1,2）,且在该曲线上任一点Mgy）处的切线的斜率为求这曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y（x）.根据导数的几何意义，可知未知函数尸）心）应满足关系式(1)⑵(3)（称为微分方程）此外，未知函数尸）心）还应满足下列条件：x=l时,）=2,简记为yx==2.把⑴式两端积分，得（称为微分方程的通解）>=j2xdx,即）=/+C,其屮C是任意常数.把条件“x=l时，尸2”代入⑶式,得2=12+C,由此定出C=l.把C=1代入⑶式，得所求曲线方程（称为微分方程满足条件期尸尸2的解）：y=x2+1.例2列车在平直线路上以20m/s（相当于72km/h）的速度行驶
3、；当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车在开始制动后t秒时行驶了5米根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数=-0.4.此外，未知函数口⑴还应满足下列条件:/=0时门=0,3dt=20.简记为s
4、z=0,s'
5、/=o=2O・把(4)式两端枳分一次，得*=半=-0.牛+6；(6)at再积分一次，得s=—0.2广+C]f+C2,(7)这里C],C2都是任意常数.把条件vL_o=2O代入⑹得20=c1；把条件sl=Q=0代入(7)得0=C2.把G,C2的值代入(6)及(7)式得片_0.4/+20,(8)$=-0.
6、2"+20人(9)在(8)式屮令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间U科=50(s).0.4再把=50代入(9),得到列车在制动阶段行驶的路程=-0.2x5()2+20x50=500(加).解设列车在开始制动后/秒时行驶了5米，$〃=_0.4,并且血o=O,*
7、z=20.把等式$〃=-0.4两端积分一次，得G=_0.4f+C],即戶-0.4/+C](C]是任意常数)，再积分一次，得x-ON+Cm+C?(Ci,C2都Ci是任意常数).由y
8、M)=20得20=Ci,于是v=-OAt+20;由M=o=O得0=C2,于是$=—0.2r+20/.令片o,得r=50(s).于是列车在制动阶
9、段行驶的路程5=-0.2x502+20x50=500(m).二、微分方程的基本概念：微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫微分方程.常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程.偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程.微分方程的阶：微分方稈中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶.x3y/,+x2y,-4xy=3?,⑷一4*'+1Oy,r-12y'+5）=sin2x,理+1=0,一般«阶微分方程：F（x,y,/,…，理）=0.y,y,…，严）.微分方程的解：满足微分方程的函数（把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式）叫做该
10、微分方程的解.确切地说，设函数尸讽X）在区间/上有〃阶连续导数，如果在区间/上，弘,於）,曲）,…,d%）］=o,那么函数尸於）就叫做微分方程f（x,y,…，理）=o在区间/上的解.通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.初始条件：用于确定通解屮任意常数的条件，称为初始条件.如口0时,）=yo,#=#（）•一般写成yx=x0=）‘（），yfx=a0=y（）-特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解.初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程卩=心，刃满足初始条件寸*
11、勺=旳的解的问题，记为yf=f(x,y)也0=%积分曲线：微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线.例3验证：函数x=C
12、COSkt+C2sinkt是微分方稈的解.解求所给函数的导数:^=-kCsinkt-^-kCicoskf,^^~=-QCcoskt-k2C2sinkt=-k2(C}cosA/+C2sinkt).将令及x的表达式代入所给方程，得dt2-/(Geos加+C2Sinkt)+/(Geoskt+Ci^n切三
