2006年全国研究生数学建模竞赛D题优秀论文(武汉科技学院)

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1、武汉科技学院：郑仟，李柏勋，陈军旗全国第三届研究生数学建模竞赛题目学生与面试老师人数的最优化分配模型武汉科技学院：郑仟，李柏勋，陈军旗摘要：本文探讨了在保证公平公正原则下，如何确定面试老师和学生人数的合理分配方案。问题一：为了确定面试老师与学生人数之间的关系，首先列出所有面试老师的组合，任意选定一个初始组，并把初始组与剩下的组合逐一比较，保留满足约束条件的面试老师组合。然后在上一步保留下来的老师组合中任取一个没有做过参考基准的组合做为本次循环的初始组，将该新始组与上一步保留下来的老师组合中其他所

2、有组合逐一比较，保留满足约束条件的面试老师组合。重复上述过程，直到没有组合能保留下来。如此，不断改变老师数目M，求出满足约束条件下相对应的学生人数N，然后通过曲线拟合的方法求出M关于N的关系式N=F(M)。对于没有两位及三位老师相同的情形，N=F(M)分别为N=0.06735*M2-0.2036*M+0.5141和N=14.89*e0.1398*M-25.9*e0.02322*M。问题二：我们采用字典排序法，列出M个面试老师的所有组合。由于此排序方法的特殊性，自然满足了Y1，Y2和Y4。为了满足

3、Y3，我们首先考虑面试中老师最多有一个相同的情形，类似问题一可确定M个老师可以面试的学生人数N1，如果N

4、果见论文。问题四：为了保证面试的公正性，本文从学生、老师、学校三个角度给出建议。关键词：分配模型；字典序列；曲线拟合；搜索2006年全国研究生数学建模竞赛一等奖武汉科技学院：郑仟，李柏勋，陈军旗一、问题的重述高校自主招生是高考改革中的一项新生事物，现在仍处于探索阶段。某高校拟在全面衡量考生的高中学习成绩及综合表现后再采用专家面试的方式决定录取与否。该校在今年自主招生中，经过初选合格进入面试的考生有N人，拟聘请老师M人。每位学生要分别接受4位老师（简称该学生的“面试组”）的单独面试。面试时，各位老

5、师独立地对考生提问并根据其回答问题的情况给出评分。由于这是一项主观性很强的评价工作，老师的专业可能不同，他们的提问内容、提问方式以及评分习惯也会有较大差异，因此面试同一位考生的“面试组”的具体组成不同会对录取结果产生一定影响。为了保证面试工作的公平性，组织者提出如下要求：Y1.每位老师面试的学生数量应尽量均衡；Y2.面试不同考生的“面试组”成员不能完全相同；Y3.两个考生的“面试组”中有两位或三位老师相同的情形尽量的少；Y4.被任意两位老师面试的两个学生集合中出现相同学生的人数尽量的少。需要研究

6、的问题如下：问题一：设考生数N已知，在满足Y2条件下，说明聘请老师数M至少分别应为多大，才能做到任两位学生的“面试组”都没有两位以及三位面试老师相同的情形。问题二：请根据Y1～Y4的要求建立学生与面试老师之间合理的分配模型，并就N＝379，M＝24的情形给出具体的分配方案（每位老师面试哪些学生）及该方案满足Y1～Y4这些要求的情况。问题三：假设面试老师中理科与文科的老师各占一半，并且要求每位学生接受两位文科与两位理科老师的面试，请在此假设下分别回答问题一与问题二。问题四：请讨论考生与面试老师之间

7、分配的均匀性和面试公平性的关系。为了保证面试的公平性，除了组织者提出的要求外，你们认为还有哪些重要因素需要考虑，试给出新的分配方案或建议。二、基本假设与符号说明（一）模型假设1）、所有面试老师与学生都严格遵守分配方案；2）、每个老师对待每个学生都是公正的；3）、面试老师之间无差异。4）、根据实际情况，面试老师人数应远远小于面试的学生数目；（二）符号说明M：老师的人数；N：学生的人数Li：第i个老师，其中i为各个老师的编号，取值为1，2，……，M；Si：第i个学生，其中i为各个学生的编号，取值为1

8、，2，……，N；LZHmax：任两位学生的面试组老师完全不相同或有且仅有一个老师相同下，最大的老师组合数；2006年全国研究生数学建模竞赛一等奖1武汉科技学院：郑仟，李柏勋，陈军旗三、模型建立与求解（一）问题11.1问题的分析与建模该问题需要解决的是在考生数N已知，并满足Y2条件下，说明聘请老师数M至少分别应为多大，才能做到任两位学生的“面试组”都没有两位以及三位面试老师相同的情形。其实质就是要求解当老师数目确定，在没有两位以及三位面试老师相同的情况下，分别建立模型使得老师组合数（LZHmax）