应用多元统计课件ch

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1、第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质性质4分块Wishart矩阵的分布:设X(α)～Np(0,Σ)(α＝1,…,n)相互独立，其中又已知随机矩阵则1第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质性质5设随机矩阵W～Wp(n,Σ)，记则相互独立。其中～(性质5,性质7和性质8不要求)2第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质性质6设随机矩阵W～Wp(n,Σ)，则E(W)＝nΣ

2、.证明:由定义3.1.4,知其中Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互独立.则3第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布一元统计中,若X～N(0,1),～χ2(n),X与相互独立,则随机变量下面把的分布推广到p元总体.设总体X～Np(0,Σ)，随机阵W～Wp(n,Σ),我们来讨论T2＝nX'W-1X的分布.4第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布定义3.1.5设X～Np(0,Σ),随机阵W～Wp(n,Σ)

3、(Σ0,n≥p),且X与W相互独立,则称统计量T2＝nX′W-1X为HotellingT2统计量,其分布称为服从n个自由度的T2分布,记为T2～T2(p,n).更一般地,若X～Np(μ,Σ)(μ≠0),则称T2的分布为非中心HotellingT2分布，记为T2～T2(p,n,μ).5第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布的性质性质1设X(α)～Np(μ,Σ)(α＝1,…,n)是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本,X和A分别为总体Np(μ,Σ)的样本均值向量和

4、离差阵,则统计量事实上,因6第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布的性质而A～Wp(n-1,Σ),且A与X相互独立.由定义3.1.5知7第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布的性质性质2T2与F分布的关系:设T2～T2(p,n)，则在一元统计中8第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布的性质当p=1时,一维总体X～N(0,σ2)，所以注意:因这是性质2的特例:即

5、p=1时,T2~F(1,n).9第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布的性质一般地：(性质2的严格证明见参考文献[2])其中ξ＝X′Σ-1X～χ2(p,δ)(δ＝0)，还可以证明χ2(n-p+1),且ξ与η独立.10第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布的性质性质3设X～Np(μ,Σ),随机阵W～Wp(n,Σ)(Σ0,n≥p),且X与W相互独立,T2＝nX′W-1X为非中心HotellingT2统计量(T2～

6、T2(p,n,μ)).则其中非中心参数.～11第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布的性质或性质3设X(α)～Np(μ,Σ)(α＝1,…,n)是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本,X和A分别为样本均值向量和离差阵.记12第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布的性质一元统计中(p=1时),t统计量与参数σ2无关.类似地有以下性质.性质4T2统计量的分布只与p,n有关,而与Σ无关.即13第三章多元正态总体参数的假

7、设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布的性质事实上,因X～Np(0,Σ)(Σ＞0),W～Wp(n,Σ),则Σ-1/2X～Np(0,Ip)，因此14第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--HotellingT2分布的性质性质5在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变设X(α)(α＝1,…,n)是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本,Xx和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有15第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Ho

8、tellingT2分布的性质令其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。则可证明：16第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--WilksΛ分布的定义一元统计中,设ξ～χ2(m),η～χ2(n),且相互独立,则在总体N(μ1,σ2(x))和N(μ2,σ2(y))方差齐性检验中,设X(i)(i=1,…,m)为来自总体N(μ1,σ2(x))的样本,