数列型不等式的放缩技巧答案版

《数列型不等式的放缩技巧答案版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、教列矍不等式的放缩技巧利用重要不等式放缩h均值不等式出例1设s“=vn+vn+…+如+i）.求证巴凹

2、斤wS+ir~2”~~222■例2已知函数/(%)=—,若/(1)=幺且门劝在［0,1］上的最小值为丄,1+a•2*52求证：/'(I)+/'(2)+…+/(;?)>n+4XAx11］简析/«=-—?=!--—?>!⑴+

3、•••+/(〃)>(1一厂)1+4丫1+4”2・2"2x2门1、“1、1zi11、11n-l+(1)+…+(1)=n——(1+—+•••+——)=n+——•2x222x2〃422心2n+12例J3求证C：+C；+C；+…+C；；>h-2v(h>1/gN)・简析不等式左边c：+C：+C；+…+C：=2"-1=1+2+22+・..+2"“H-I>叔・2・22••…2“tW22,故原结论成立.2.利用有用结论例4—1求证（1+1）（1+丄）（1+丄）...（1+_J_）>J2/?+1.352n-1简

4、析利用贝努利不等式的一个特例（1+丄）2>1+2•丄眦处心2“丄）得2k2k-I2k兰也=J2n+1.2k+占门1、占1V2—1=>n（i+—―…t*=i2k-1“1V2k—1例4—2证明（1+1）（1+丄）（1+丄）…（1+—!—）〉劲3^+1.473几一2简析可考虑用贝努利不等式川=3的特例例5已知函数=临1+2、3‘+•••+(—l)'+d",o<°给定”wnj>2.n求证：/(2x)>2/(x)(xH0)对任意斤g/V*且斤n2恒成立。简析运用柯西(Cauchy)不等式的简捷证法：/=

5、1/=!/=1f(2x)>2f(x)u>]gl+2"+3"+・・・+(/i—l)"+a・/i"〉2]gl+2‘+3”+・・・+(“一1)‘+"•/n°n<=^[1+2'+3'+•••+(77—1)'+6f•HA]2[1+22j+32x+…+(n—1)〃+q2.九2訂(兀=0时取等号)[1+22x+32'++6/

6、-H2a](V()<6Z<1),得证！例6已知廿％严（1+斗一皿+土・n--n2（/）用数学归纳法证明色>2（n>2）；（〃）对ln（l+x）。对兀〉0都成立，证明％—2（无理数存2.71828…）解析（〃）结合第⑴问结论及所给题设条件ln（l+^）0）的结构特征，可得放缩思路：%]<(1+2[+»务=>】叫+]5(1+—+丄)+12“=>n+n2n2小11工曰I1/11n-1+—o于是an^-an<—+冇，n2n+n2R-lW-l111]-(»)11X(1叫1-Ina"》(

7、-―+—)=>ln^-lnt/1<1-一+=2—<2.7^気广+<2n]_1n2_2即1n%-lnd]<2二>d”<.例7已知不等式-+-+•••+—>—[log2n],neN>2.[log2n]表示不超过log?”的最13n2"大整数。设正数数列｛%｝满足：®"@>0)卫”5上j,Q2.n+①一]求证°<,n>3.1+列10乱加简析当n>2时a<心=丄『+%=丄+丄,即J——>1=>y(丄-—)>Y丄.于是当h>3时有丄―丄〉l[log2n]=>^<—艺—.k=2akak-k=2kcin

8、ax22”2+b[og2n]例8设〜=（1+丄）”，求证：数列｛%｝单调递增且％<4.n解析若b>a>0则bH+i-an+l<（n+l）bn（b-a）整理上式得an+｝>bn[（n+l）a-nb].（®）,以°=i+丄上=1+丄代入（㊈）式n+1n得（1+丄严〉（i+_L）”.即｛%｝单调递增。n+1n以4=1,归+丄代入（®）式得1〉（1+J-）”丄=>（1+丄）2”<4.2n2n22n此式对一切正整数"都成立，即对一切偶数有（1+丄）"v4,又因为数列｛©｝单调递增,n所以对一切正整数〃有

9、（1+丄）”<4on部分放缩例9设a=1+—4-—+••+—,a>2.求证：an<2.“T3“na解析“1+2其中一个k变成£—1,L+_L+...+_L3时证明对所有n