李锦旭(数列型不等式放缩技巧九法)

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1、数列型不等式的放缩技巧九法山东省临沭县实验中学李锦旭（276700）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一利用重要不等式放缩1．均值不等式法例1设求证解析此数列的通项为，，即注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等

2、式，若放成则得，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例2已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：（02年全国联赛山东预赛题）简析例3求证.简析不等式左边=，故原结论成立.2．利用有用结论例4求证简析本题可以利用的有用结论主要有：法1利用假分数的一个性质可得即9法2利用贝努利不等式的一个特例(此处)得注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊

3、妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例)例5已知函数求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题）简析本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号)（），得证！例6已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题）解析结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：。于是，即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即9例7已知不等式表示不超过

4、的最大整数。设正数数列满足：求证（05年湖北卷第（22）题）简析当时，即于是当时有注：①本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。例8设，求证：数列单调递增且解析引入一个结论：若则（证略）整理上式得（），以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。注：①上述不等式可加强为简证如下：

5、利用二项展开式进行部分放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）简析对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故9即。当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例4所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。二部分放缩例9设求证：解析又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，于是

6、例10设数列满足，当时证明对所有有；（02年全国高考题）解析用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。三添减项放缩上述例4之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。例11设，求证.简析观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例12设数列满足（Ⅰ）证明对一切正整数成立；（Ⅱ）令，判定与的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题）简析本题有多种放缩证明方法

7、，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有法1用数学归纳法（只考虑第二步）；9法2则四利用单调性放缩1．构造数列如对上述例1，令则，递减，有，故再如例4，令则，即递增，有，得证！注：由此可得例4的加强命题并可改造成为探索性问题：求对任意使恒成立的正整数的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！2．构造函数例13已知函数的最大值不大于，又当时（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明（04年辽宁卷第21题）解析（Ⅰ）=1；（Ⅱ）由得且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得例14数列由下列条件确定：

8、，．（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年北京卷第（19）题）解析构造函数易知在是增函数。当时在递增，故对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。注：①本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景—数列单调递减有下界因而有极限：9②是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。类题有06年湖南卷理科第19题：已知函数,数列{}满足:证明:(ⅰ)