北京市西城区2012年高三一模试卷(理数)

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1、北京市西城区2012年高三一模试卷数学（理科）2012.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集，集合，则（）（A）（B）（C）（D）2．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）（A）（B）（C）（D）3．若实数，满足条件则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）（B）（C）（D）5．已知函数的最小正周期是，那么正数（）（A

2、）（B）（C）（D）第12页共12页6．若，，，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）7．设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对，有，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）8．已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（）（A）（B）（C）（D）第12页共12页第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间．将测试结果分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是

3、_____．10．的展开式中，的系数是_____．（用数字作答）11.如图，为⊙的直径，，弦交于点．若，，则_____．12.在极坐标系中，极点到直线的距离是_____．13.已知函数其中．那么的零点是_____；若的值域是，则的取值范围是_____．14.在直角坐标系中，动点， 分别在射线和上运动，且△的面积为．则点，的横坐标之积为_____；△周长的最小值是_____．第12页共12页三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）在△中，已知．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，

4、求．16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以比获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；（Ⅲ）求比赛局数的分布列.17．（本小题满分14分）如图，四边形与均为菱形，，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间.第12页共12页19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，定点

5、，椭圆短轴的端点是，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．（Ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；（Ⅲ）证明：一定能经过有限次“变换”后结

6、束．第12页共12页北京市西城区2012年高三一模试卷数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C；2.D；3.A；4.A；5.B；6.D；7.A；8.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.；10.；11.；12.；13.和，；14.，.注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为．………………3分因为，所以，所以．………………5分因为，所以．………………6分（Ⅱ）解

7、：由余弦定理，得．………………8分因为，，所以．………………10分因为，………………12分所以．………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．………………1分记“甲以比获胜”为事件，第12页共12页则．………………4分（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.因为，乙以比获胜的概率为，………………6分乙以比获胜的概率为，………………7分所以．………………8分（Ⅲ）解：设比赛的局数为，则的可能取值为．，………………9分，………………10分，………………11分

8、．………………12分比赛局数的分布列为：………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设与相交于点，连结．因为四边形为菱形，所以，且为中点．………………1分又，所以．………3分因为，所以平面．………………4分（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，所以//，//，所以平面//平面．………………7分又平面，所以//