几何体与计数有关的几个问题

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1、几何体与计数有关的几个问题陕西咸阳中学董红兵712000随着新课改的提出，以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；了解其中的一些基本观念和思考方法，运用它解决一些简单的实际问题，是我们关注的事情，现就这一方面进行分析。不足之处，请指点。问题1.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共在（D）种A、150B、147C、144D、141解析：10个点任取4个点取法有編种，其中一个面

2、的6个点中任意4点都共面,从这6点中任取4个点有C；,同理，在其余3个面内也有C：种；又每条棱与相对棱中点共面有6种；各棱中点中4点共面的有3种，故从10个点中取4点，不共面的取法共在g-4C；-6-3问题2、某城市有东西向街7条，南北向街8条。⑴从A到D最短走法有多少种？⑵若中途必须经过B、C的最短走法有多少种？分析：最短的走法是顺着从南朝北，从西朝东方向走，不能倒走，从A到D必须走南北向的街6段，东西向的街7段，所谓不同的走法，就是6段南北向的街和7段东西向的街的不同排列，在排列中，6段南北向的街和7段东西向的街是没有区别的。解析：⑴以Q表示一段南北向的街，b表示一段东西向的街，不同的走

3、法就是6CBA个q和7个b的全排列，其全排列有希=1716（个），6/7/所以最短的走法有1716种另解：将最短的走法的路径伸直，其走法相当于13个位置由6个。去占领（剩下的由7个b去占），因些有4=1716种走法。⑵从A经过B、C到D的最短走法，可分A到B,B到C,C到D三步来完成。由上题可知，A到B有出=4种走法，B到C有—=10种走法，C3!1!2!3!到D有皂=6种走法，故从A经过B、C到D的最短走法有2!2!4x10x6=240种走法。再解：从A到B有C；种走法，从B到C有C；种走法，从C到D有C：种走法,因些，从A经过B、C至UD的最短走法有=4x10x6=240（种）说明：对于

4、/个元素中若只有两类不同的元素，即P个a,q个b,且p+q=n,则全排列数为Cj或C仁问题3.用1、2、3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须同时使用,且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）个A、6B、9C、18D、36解析：先从3个数字中选2个数字作全排列，再在这已排好2个数字的3个间隙中，选出两个插入另一相同的数字，故不同的四位数有A?C；=18,选C问题4、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A、18对B、24对C、30对D、36对解析三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可连成C：-3=12个不同的四面体，而每个四面体有3组异面直线，则共有12x3=36对异面直线

5、，故选D解析2：把异面直线分为上、中、下三部分：上、下3x2=6对；上、中3x3=9对;中、下3x3=9对；中中（侧棱与对角线6对，对角线与对角线6对）12对，共36对，故选D方法点拨：解析1用间接法；解析2用分类分类讨论。上述的问题，通过学生实践活动得到结果，学生可以体验数学活动中的探索与创造，加深对相应知识的理解，学生可以获得成功的体验、锻炼克服困难的意志、形成团结协作的意识、养成独立思考的习惯。思考题：1、空间有10个点，其中有4个点在同一平面上，除此以外，这10个点中不再有4个点共面，求以其中一点为顶点，过其它3个点的圆为底的圆锥（不一定是直圆锥）的个数略解：分共面的4个点共面与不共

6、圆两种情况讨论共圆时有：1・C；+C：・C；・C；+C：・C：・C；+C；・碍=818（个）不共圆时有：C：C+Ci・C；・C；+C：・C[・C；+C[・G=836（个）2、把正方形各边五等分如图，一共可构成多少个非正方形的矩形？略解：C^C^-（l2+22+32+42+52）=l70（个）3、四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品入在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（B）A、96B、48C、24D、0