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《高中数学第3章直线与方程33直线的交点坐标与距离公式331两条直线的交点坐标》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.3.1两条直线的交点坐标疱丁巧解牛知识•巧学一、两条直线的交点如杲两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.把两条直线的方程组成方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.要点提示直线相交的问题转化为求方程组的解的问题，且解的个数决定两条直线的位置关系•两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.二、直线系方程具有某一共同屈性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点
2、是除含坐标变fix.y以外，还含有待定系数(也称参变量).(1)共点直线系方程：经过两直线li：Aix+Biy+C^O,12：A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A】x+B】y+G+入(A2x+B2y+C2)=0,其中X是待定系数.在这个方程中,无论X取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线12.(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=O平行的直线系方程是Ax+By+入=0(入HC),入是参变量.(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(AH0,BH0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+入二0.(4)特殊平行线与过定点(x°,yo)的直线系：当斜率k一定而m变
3、动时，y二kx+m表示斜率为k的平行线系，y-yo=k(x-xo)表示过定点(x(),y())的直线系(不含直线x=x°).要点提示如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧,应注意掌握和应用.问题・探究问题1设两条直线的方程为h：Aix+B】y+G=0和l2:A2x+B2y+C2=0,如果这两条直线相交,你能分析它们的系数满足什么关系吗？探究:我们可以先解由两直线方程联立的方程组A,x+B,y4-C,=0(1),A2x+B2y+C2=0(2).①XB厂②XBi
4、,得(AiB2-A，Bi)x+B2Ci-B]C2=0.当AiB2-A2B^0时,再由①XA?-②XAi,当AiB?-A2B1HO时，可得'「誥遵•因此'当W刊时，方程组有唯一组解X、y.这时两条直线相交，交点的坐标就是(x,y).因此这两条直线相交时，系数满足的关系为Ab-AzBiHO.问题2请你探究一下三条直线li：ax+y+l=0,l2:x+ay+l=0,l3：x+y+a=0构成三角形的条件是什么？探究:三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点的情况.所以可以从正反两个方向来思考.解法一:任两条直线都相交，则-7^-,故1.又有三条直线
5、不交于同一点,16/11故其中两条直线]X+ay+1=0,的交点(-1-a,1)不在直线dx+y+l=o上，即[x+y+a=0a(T-a)+l+lHO,J+a-2H0,(a+2)(a-1)HO,/.a^-2,aHl.综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是aH±l,a^-2.解法二：因为三条直线能构成三角形，所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的悄况排除掉.x+ay+1=0,若三条直线交于同一点，则其中两条直线彳'的交点(-1-a,1)在直线x+y+a=0ax+y+l=O上，/.a(-a~l)+1+1=0,.*.a=l或a二-2.若h
6、//12t则有=—l,a二1；若I1//I3,则有=—1,a=l；若12〃】3,则有aa——=—a,a=±1.a所以若三条直线构成三角形，则需a^±l,a^-2.典题・热题例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)li：2x-y=7和I2：3x+2y-7二0;(2)11：2x-6y+4=0和L：4x~12y+8=0;(3)ll：4x+2y+4二0和L：y二-2x+3.思路解析：判定两直线的位置关系，对以转化为讨论方程组解的情况.若两直线方程组成的方程组有且仅有一组解时，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线平行；若方程组有无数多组解，则说明两直线重合.12xV7=0
7、jx=3J-'的解为｛-'因此直线1】和L相交，交点坐标为(3,-1).3x+2y-7=0[y=・1,(2)方程组]2x・6y+4=0,有无数组解，这表明直线b和重合.I4x・12y+8=0⑶方程组;:鳥罗'无解，这表明直线h和鞍有公共点,故"深化升华根据两直线方程判断两直线的位置关系时，当已知形式是直线的斜截式方程时，利用斜率以及纵截距来判定两直线是否相交、平行或重合更方便•当已知直线的一般式方程时，若系数中含有字母，因为直线斜率是否存在不清
