2011年高考数学命题趋势研讨会 原创题

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1、原创题1、题目：已知椭圆的左右两焦点分别为、，P是椭圆C上任意一点，以P为圆心，P为半径的圆必与一定圆相切，则此定圆的方程为．解析：由椭圆定义知，P+P＝４，定圆为以为圆心，以＝４为半径的圆．该圆与以P为圆心，P为半径的圆相内切．2、已知数列满足：正项数列满足．（1）若是等差数列，且求的值及的通项公式；（2）若是公比为的等比数列①求的通项公式；②若，为的前项和，记设为数列{}的最大项，求．解：（1），解得，--------------4分（2）①，又--------------10分②若，则（）---

2、-----------15分等号当且仅当即时取到，--------------16分3、已知.设点时，求实数的值为即4、设是半径为2的球面上的四个不同的点，且满足。用分别表示的面积，则最大值为答案为8解：将三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线的成就是外接球的直径。所以。由基本不等式得而。所以最大值为85、1.如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，数列与数列都是“对称数列”．（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；（2）设是项的“对

3、称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列.求前项的和．解：（1）设数列的公差为，则，解得，数列为.………4分（2）………8分（3）．由题意得是首项为，公差为的等差数列.……………10分当时，.……………12分当时，．…………………………15分综上所述，…………16分6、已知A、B、C是直线l上的三点，向量、、满足－[y+2f′(1)]+ln(x+1)=.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）若不等式时，及都恒成立，求实数的

4、取值范围．解：(Ⅰ)∵－[y+2f′(1)]+ln(x+1)=，∴=[y+2f′(1)]－ln(x+1)，由于A、B、C三点共线，即，∴，，∴，故；（Ⅱ）令，由，∵，∴，∴在(0，＋∞)上是增函数，　　故，即；（Ⅲ）原不等式等价于，　令，由，当时，，∴，令，则，得或．7、如图，A、B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A、B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是；解：当两圆半径小于1时，两圆无公共点；当两圆半径等于1时，两圆相切，S=2

5、－；当两圆半径大于1时，两圆相交，随着半径的不断增大，C点不断下降，面积S越来越小；故S∈（0，2－]．8、某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员.已知这家公司现有职工2m人（，且m为10的整数倍），每人每年可创利100千元.据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元.为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%.为保障被裁员工的生活，公司要

6、付给被裁员工每人每年20千元的生活费.问：为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？9、P点在边长为1的正三角形ABC内部，质点沿BP方向前进到BP中点M时，改向MA方向，又前进到MA中点N时，再改向NC方向，又行至NC中点，此时发现已到P点，则BP的长为---------解：设向量BA=C，BC=a,BP=x则1/2（C-x/2）+1/2[1/2(c-x/2)+a-c]=x/2解得X=4a+2c/7所以BP的长为2√7/710、设函数，表示不超过的最大整数，则函数的值域为：解：故所求的值域为11、

7、已知的定义域是，对于任意的都有为______________。解：令.即.令.，，，.将以上个式子相加，得..12、已知函数，若实数使得函数在定义域上有零点，则的最小值为.答：解一：综合函数零点、线性规划、二次方程根的分布等知识。令，则，问题转化为在区间上有零点.首先，当对称轴或时，均有；其次，当对称轴时，只要或，问题转化为满足条件：或，求的最小值，作出可行域，易得最小值为.解二：发散思维，变换主元思考。令，则，问题转化为在区间上有零点.令，则，问题转化为在区间上有零点.设是的一个零点，则有：，在坐标

8、系下，视为直线，而表示到的距离的平方.∴递增∴本题考查了数学信息的解读能力，对学生分析问题、综合解决问题的能力要求较高。13、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事