第五章-戴蒙德模型

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1、第五章无限期界与代际交叠模型第一节拉姆齐问题第二节拉姆齐模型的动态分析第三节代际交叠中的两期寿命第四节戴蒙德模型的动态分析第三节代际交叠中的两期寿命戴蒙德模型也称为代际交叠模型，它与拉姆齐模型一起被称为是以微观为基础的两个宏观经济学基本模型。这是戴蒙德(Damond，1965)在阿莱(Allais，1947)和萨缪尔森(Sanuelson，1958)早期研究成果基础上建立的。戴蒙德模型与拉姆齐-卡斯-库普曼模型之间的主要差异是存在着人口的新老交替，而不是一个数量固定的永久性生存的家庭【他们的效用函数也是相同的】。在这一模型中，新的人口不断出生，老的人口不

2、断消亡。为了简化分析，模型假设每个人只活两期，即年轻期与老年期。Lt代表t时期出生的人。如果人口以速率n增长，则Lt＝(1+n)Lt-1。由于个人只生活两个时期，因此在t时期，存在Lt个正处在他们生命第一时期的个人，并且存在个正处在其生命的第二时期的个人。每个人在其年轻时供给一单位的劳动，并且将所得到的劳动收入在第一期的消费与储蓄之间进行分配。在第二时期，个人只是简单地消费其获得的储蓄与利息。戴蒙德模型的设计第三节代际交叠中的两期寿命设C1t与C2t代表年轻与年老两代人在t时期的消费。这样，在t时期出生的人的效用依存于C1t与C2t+1【指t+1时期年老

3、者的消费，不是2乘以t+1】。再次假设不变相对风险厌恶效用函数为：这个函数是为了平衡增长所需要的。由于生命是有限的，不再假设ρ>n+(1-θ)g以确保终生效用不再发散。ρ代表权重【分析上的意义相当于贴现率】，如果ρ>0，则个人给第一时期的权重大于第二消费时期，如果ρ<0，则情形相反。同时需要假设ρ>-1，以确保第二消费时期的权数为正。戴蒙德模型的设计（续）第三节代际交叠中的两期寿命对厂商来说，生产的假设与前面相同。一个社会中存在着众多厂商，每个厂商具有生产函数Yt=F(Kt,AtLt)。F(•)具有不变的规模报酬并满足稻田(Inada)条件，并且A再次以

4、外生速率g增长。市场是竞争性的，因此劳动与资本可获得其边际产出，厂商获得零利润。不存在折旧。真实利率与每单位有效劳动的工资由和确定。最后，存在一些初始的资本存量k0，它们由一切老年个人均等地持有。在初始时期内，由老年人拥有的资本与年轻人供给的劳动被结合起来生产产出。老年人消费其资本收入与现存财富，然后他们在模型中消失。年轻人则把他们的劳动收入wtAt分配在消费和储蓄上。他们把其储蓄带入下一时期，因此在t+1时期内资本存量Kt+1等于t时期年轻人的数量Lt乘以这些个人的储蓄wtAt-C1t。这种资本与下一代的年轻人供给的劳动相结合，这个过程不断延续。戴蒙德

5、模型的设定（续）第三节代际交叠中的两期寿命根据上述假设，可以分析戴蒙德模型中的家庭行为。可知在t时刻出生的人的第二期消费如下列公式所示：当上式的两边同时除以(1+rt+1)并把C1t移到左边，可以得到如下的预算约束：这个条件表明，终生消费的现值等于其初始财富(为零)加上终生劳动收入的现值(即wtAt)【模型开始时刻有初始财富，以使老年者有消费能力(更符合实际)，其后任意时刻t没有初始财富，老年者的消费能力来自自己年轻时的储蓄】。在式(5-27)的预算约束下，个人按式(5-25)最大化其效用。求解这个最大化问题有两种方式：第一种方式是沿用拉姆齐模型中的欧拉

6、方程式进行推导。第二种方式是构造拉格朗日函数求解最大化问题。家庭行为第三节代际交叠中的两期寿命方式一：欧拉方程由于戴蒙德模型是关于离散时间的，因此欧拉方程的推导较之拉姆齐模型更为容易。设想如果个人将消费C1t减少了较小的数量ΔC，接着利用新增的储蓄与资本收入把C2t+1提高了(1+rt+1)ΔC。这种改变并不影响个人终生消费流的现值【即新增部分的贴现值等于当前减少值】。因此，如果个人正在进行最优化，效用成本与变动的收益必定是相等的。如果成本小于收益，个人会通过作出改变而增加其终生效用；如果成本大于收益，个人则通过作出相反的改变而增加效用。第三节代际交叠中

7、的两期寿命方式一：欧拉方程（续）C1t与C2t+1对终生效用的边际贡献分别是与。设ΔC趋于零，变动的边际成本就趋于，并且效用收益接近。当个人正在进行最优化时，它们是相等的。因此，最优化要求：两边同时消去ΔC可得：这个条件与预算约束描述了家庭中个人的行为。式(5-30)与拉姆齐模型中的欧拉方程类似，它意味着个人消费是否随着时间的变化递增或递减---这取决于实际报酬大于还是小于贴现率【即权重】。公式中的θ决定了个人如何对r和ρ之间的差异作出反应，这种反应直接造成了消费行为的变化。第三节代际交叠中的两期寿命方式二：拉格朗日函数构造拉格朗日函数去求解这个的最大化

8、问题：上式中C1t与C2t+1的一阶条件是：把式（5-32）代入式（5-33）得