圆周运动和一般曲线运动

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1、设质点绕圆心在作变速圆周运动，在其上任意选一点可建立如下坐标系，其中一根坐标轴沿轨迹在该点P的切线方向，该方向单位矢量用et表示；另一坐标轴沿该点轨迹的法线并指向曲线凹侧，相应单位矢量用en表示，这就叫自然坐标系。一、切向加速度和法向加速度显然，沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断变化着的。1.自然坐标系§1-2圆周运动和一般曲线运动BRdA为单位矢量，大小不变，但方向改变2.切向加速度和法向加速度因为所以t时刻：A点t+dt时刻：B点dt时间内经过弧长dsds对应圆心角角度d即与同向BRdA因为所以圆周运动中

2、的切向加速度at和法向加速度an切向加速度改变速度的大小，法向加速度改变速度的方向。OxR角位移沿逆时针转动，角位移取正值沿顺时针转动，角位移取负值角位置角速度角加速度单位：rad/s单位：rad/s2二、圆周运动的角量描述B匀角加速圆周运动是恒量一般圆周运动匀速圆周运动是恒量讨论：ROx圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。+00+t+tBtA如图所示，一质点作圆周运动：在t时间内，质点的角位移为，则A、B间的有向线段与弧将满足下面的关系

3、两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：线量速度、加速度角量角速度、角加速度匀速直线运动匀变速直线运动匀速率圆周运动变速曲线运动讨论：例题1-3计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：地球自转周期T=246060s，角速度大小为如图，地面上纬度为的P点，在与赤道平行的平面内作圆周运动,R赤道R′p其轨道的半径为P点速度的大小为P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为P

4、点速度的方向与过P点运动平面上半径为R的圆相切。P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬3957、3112和2300，可算出三地的v和an分别为北京：上海：广州：解：由题意，可得该点的速率为：例题1-4一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为，v0、b都是正的常量。（1）求该点在时刻t的加速度；（2）t为何值时，该点的切向加速度与法向加速度的大小相等？已知飞轮的半径为R。上式表明，速率随时间t而变化，该点做匀变速圆周运动。（1）t时刻切向加速度、法向加速度及加速

5、度大小:加速度方向由它和速度的夹角确定为Ro（2）令at=an，即得例题1-5如图a所示为一曲柄连杆机构，曲柄OA长为r，连杆AB长为l，AB的一段用销子在A处与曲柄OA相连，另一端以销子在B处与活塞相连。当曲柄以匀角速ω绕轴O旋转时，通过连杆将带动B处活塞在汽缸内往复运动，试求活塞的运动学方程。解：取O为原点，Ox轴水平向左，如图b所示；并设开始时，曲柄A在Ox轴上的点P处。当曲柄以匀角速ω转动时，在t时刻曲柄转角为φ=ωt以，这时B处活塞的位置为x=OR+RB，即这就是活塞的运动学方程我们把上式右端第二项按二项式

6、定理展开为级数：一般r/l<1/3.5,因此高阶小量可以略去，于是的活塞的运动学方程可写为抛体运动：从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动。以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻t=0的速率为v0，抛射角为，三、抛体运动的矢量描述则初速度分量分别为故任意时刻的速度为将上式积分，得运动方程为物体在空中飞行回落到抛出点高度时所用的时间为飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所经过的水平距离）为运动方程消去时间参数t，得到抛体运动的轨迹方程为若，则，此时为平抛运动；若，则，此时射

7、程最大；若，则，此时为竖直抛体运动。飞行的射高（即高出抛射点的最大高度）为例题1-6在距离我方前沿阵地1000m处有一座高50m的山丘，山上建有敌方一座碉堡。求我方的大炮在什么角度下以最小的速度发射炮弹就能摧毁敌军的这座碉堡？解：由前面分析可知，抛体运动的轨迹方程是由此可解出发射速度v0与发射角度的关系为由上式不难分析出，当tanθ=y/x，以及θ=π/2时，v0都将趋于无穷大，所以在这中间必存在一个使v0为极小值的角度，令dv0/dθ=0，将目标位置x=1000m，y=50m，代入方程求解，原则上可以求出击中目标

8、炮弹的最小速度，但由此产生的超越方程难以得出解析解。为此，我们可以编写Matlab程序，利用计算机的数值解，绘出为了击中目标所发射炮弹的初速度与发射角度的关系曲线，并得到在θ=46.4°时，可以最小速度v0=101.5m/s发射炮弹摧毁敌军碉堡。v0/(m.s_1)例题1-7有一学生在体育馆阳台上以投射角θ=30°和速率v0=20m/s向台前操