2011年上海高考数学(文理)命题评析

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1、任晓LyleRenfroglyle@163.com2011年上海高考数学（文理）命题评析——任晓2011年上海高考昨日落下帷幕，今年的数学试题又成为考生和家长关注的焦点。若要用两关键词来提炼今年数学命题的特点，“探究”和“改妆”是今年试题的最大特点。所谓“探究”是命题人将数学问题以探讨的形式给出，需要考生读懂问题，探索问题，研究问题，进而给出相关的结论，而不是机械的、刻板的对教科书上知识进行简单的搬抄或套用。例如理科的22题、23题，文科的23题等等，都是典型的探究性问题所谓“改妆”是命题人将原本我们熟知的问题改头换面，将数学基本模型、基本问题隐藏在具体的现实的问题背

2、后，进而考查同学解决实际问题的能力，自然这需要数学建模的思想和能力。理科的09题、12题、13题、18题，文科的13题等都是这方面考题的体现。虽然从表面看试题有崭新的感觉，但究其本质很多问题都是老生常谈的问题，相关的知识和技能在平时授课以及考前命题分析中都有所涉及，例如抽象函数的处理，二阶线性递推关系式的处理，等差、等比数列的证明，解析几何优先几何和定义的思想，解析几何最值、范围问题的处理等等，都是在我先前考前命题分析讲座中给我们考生重点强调、重点指出的问题。这里仅以理科的压轴题为例，在学而思高三春季班第九讲《高考决战巅峰——创新类题型解决方案》中就出现过类似问题，多

3、题与今年的压轴题思想方法雷同或完全一致，而且难度比上海高考压轴题还要大。以下是学而思讲义上的题，同学们可作比对。【其一】在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”。在这定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆；③到，两点的“折线距离”之和为的点的集合是面积为的六边形；④到，两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线。其中正确的命题是。（写出所有正确命题的序号）【答案】①③④【其二】在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义，两点之间的“直角距离”为。若点，则；已知点，点是直线上的动

4、点，的最小值为。【答案】；【其三】在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为第9页共9页任晓LyleRenfroglyle@163.com。若到点，的“直角距离”相等，其中实数，满足，，则所有满足条件点的轨迹的长度之和为。【答案】【其四】在平面直角坐标系中，点集，，则（1）点集所表示的区域的面积为。（2）点集所表示的区域的面积为。【答案】；纵观文理两套试题，有7道相同题，5道“姊妹题”，进一步拉开了文理试题的差异性。试题更多的是考查学生的能力，而并非知识本身。对于数形结合、分类讨论、转化化归、空间想象、抽象计算等重点能力重点考查。试题整体难易恰当，有一定的区分度

5、，能很好的起到选拔考生的作用。“探究”和“改妆”是试题的两大创新点和亮点，这必将在明年的命题中继续得到淋漓尽致的诠释。以下是今年试题中相对较难的几个题，我给出了详解，并附上点评。【2011上海理13】设是定义在上，以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在的区间上的值域为。【解析】；∵是定义在上，以为周期的函数，∴，又∵，∴，∵当时，的值域为，且，∴当时，的值域为。以此类推当时，的值域为，……，当时，的值域为。同理也成立，则，∴当时，的值域为，以此类推当时，的值域为。综上，在的区间上的值域为。【点评】此题为抽象函数，显然得用赋值的方法，再根据其周期由第9页共9页任晓

6、LyleRenfroglyle@163.com推导其它范围的取值情况。这与2011浦东新区一模的压轴题如出一辙，思想和策略完全一致。当然，考生在考场上也可将抽象函数具体化，找一个满足题意的具体函数，进而求解也未尝不可。【2011上海理14】已知点、和点，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足，依次下去，得到，，…，，…，则。【解析】；根据题意画出图形，确定相应的，，，，…，并求出其相应的值分别为、、、，…，根据其趋势可得。下面给出严格推导：记，，…，，根据题意可得数列存在递推关系。其为二阶线性递推关系式，故采

7、用特征方程的方法，可得特征方程为，解得或。故。分别令，，可得，解得，则。故。【点评】此题是典型的探究性问题。将已知二阶线性递推关系求通项公式的问题，披上了一层解析几何的外衣，变得扑朔迷离。究其本质还是在于对归纳推理、数形结合、转化化归等能力的综合考查。考生要全面地解决此问需深刻把握两点之间距离、极限、二阶线性递推关系求通项等相关知识。【2011上海理18】设是各项为正数的无穷数列，是边长为，的矩形的面积第9页共9页任晓LyleRenfroglyle@163.com，则为等比数列的充要条件是。．是等比数列．，，…，，…或，，…，，…是等比数列．，，…，