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1、《数值分析》典型例题I一、二章内容提要典型例题分析部分习题解答补充练习题具有n位有效数字,则绝对误差满足2/16相对误差满足如果一个浮点数1.设x*是f(x)=0在[a,b]内的唯一根,且f(a)·f(b)<0,则二分法计算过程中,数列满足:
2、xn–x*
3、≤(b–a)/2n+12.Newton迭代格式:3.弦截法迭代格式:(n=0,1,2,·····)3/16设,若存在a>0,r>0使得则称数列{xn}r阶收敛.定理2.6设x*是的不动点,且而则p阶收敛4/16例1.设x1=1.21,x2=3.65,x3=9.81都具有三位有效位数,试估计数据：x1×(x2+x3)的误差限。解：由
4、
5、e(x1)
6、≤0.5×10-2，
7、e(x2)
8、≤0.5×10-2，
9、e(x3)
10、≤0.5×10-2所以,
11、e(x2+x3)
12、≤10-2
13、e(x1×(x2+x3))
14、≤(1.21+0.5×13.46)×10-2=7.94×10-2Ex1.若要x1×(x2+x3)的误差限为0.5×10-2,问数据x1,x2,x3应该具有几位有效数?5/16例2.设计算球体V允许其相对误差限为1%,问测量球半径R的相对误差限最大为多少?解：由球体计算公式分析误差传播规律故当球体V的相对误差限为1%时，测量球半径R的相对误差限最大为0.33%。相对误差传播规律Ex2.对z=f(x,y),若允许其相对误差为1
15、%,问应该对x,y如何限制?6/16例3*.采用迭代法计算，取x0=7(k=0，1，2，……)若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。Ex3：对是否都有这一性质?7/161-8序列{yn}满足递推关系yn=10yn-1–1(n=1,2,·····)若取y0=√2≈1.41(三位有效数字).递推计算y10时误差有多大？解:取x0=1.41,则e(x0)≤0.005e(xn)=10e(xn-1)(n=1,2,······,10)e(x10)=10e(x9)=······=1010e(x0)
16、e(x10)
17、=1010
18、e(x0)
19、≤0.5×108Ex4.推导计算yn的显示表达式8
20、/161-12利用级数可计算出无理数的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn在其极限值上下摆动，试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。解:由部分和只需n>1000时,Sn有三位有效数Ex5.推导部分和数列加速的计算表达式9/162-6应用牛顿迭代法于方程x3–a=0,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。解：令f(x)=x3–a，则牛顿迭代公式故立方根迭代算法二阶收敛10/16例4.设a为正实数，试建立求1/a的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。xn+1=xn(2–axn)，(n=0，1，2……)所以,当
21、1–ax0
22、<1时，迭代公
23、式收敛。解:建立方程利用牛顿迭代法，得1–axn+1=(1–axn)2整理，得11/16例5.x*是f(x)=0的二重根,分析牛顿迭代法的收敛阶解:由于f(x)=(x–x*)2g(x)针对二重根,牛顿迭代法只是一阶收敛.12/16Ex6.若x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法的收敛阶Ex7.若x*是f(x)=0的m重根,试证明修正的牛顿迭代法至少为二阶收敛13/16Ex9隐函数定理条件满足时,利用G(x,y)=0可以计算隐函数的值,设有G(x0,y0)=0,则在x0附近有y=y(x).试分别构造牛顿迭代法和割线法计算函数值的迭代格式Ex8证明割线法可改写如下迭代公式14/16Ex
24、11确定下列方程的全部隔根区间(1)xsinx=1；(2)sinx–e-x=0；(3)x=tanx；(4)x2–e-x=0Ex10在计算机上对调和级数逐项求和计算当n很大时，Sn将不随n的增加而增加。试分析原因。15/16Ex12对于复变量z=x+iy的复值函数f(z)应用牛顿迭代公式时为避开复数运算,令zn=xn+iynf(zn)=An+iBn，f’(zn)=Cn+iDn证明16/16
