数值分析典型例题

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1、数值分析典型例题例1对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478,0.00234711,9.000024,9.000034.解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478，0.0023471，9.0000，9.0000。注意:=9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9是1位有效数字。例2指出下列各数具有几位有效数字。2.0004，-0.00200，-9000，9，2。解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5，3，4，1，1例3已测得某物体行程的近似值s=800m，所需时间的近似值为t=35s，若已知，试求平均速度的绝对误差和相对误差

2、限。解：因为，所以从而同样所以因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。例4试建立积分的递推关系，并研究它的误差传递。解：……………………………………………..…...(1)，计算出后可通过（1）依次递推计算出,…,。但是计算时有误差，由此计算出的,…,也有误差，由（1）可知近似值之间的递推关系为……………………………………………….…..(2)（1）-（2）可得，由计算时误差被放大了倍。所以（1）不稳定。（1）可以改写为………………………………………（3）如果能先求出，则依次可以求出,…,，计算时有误差，这样根据（3）计算,…,就有误差，误差传播为，误差依次减少。例5用

3、二分法求解方程在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。解：因为，且当时，，所以方程在[0,1]内仅有一个实根，由，解得１２，所以至少需要二分10次，才能得到满足精度要求的根。第次有根区间为，该题的二分法的计算过程间下表，结果。00（+）0.5(-)1(-)10（+）0.25(+)0.5(-)20.25（+）0.375(+)0.5(-)30.375（+）0.4375(+)0.5(-)40.4375（+）0.46875(-)0.5(-)50.4375(+)0.453125(-)0.46875(-)60.4375(+)0.4453125(-)0.453125(-)70.4375(+)

4、0.44140625(+)0.4453125(-)80.44140625(+)0.443359375(+)0.4453125(-)90.443359375(+)0.444335937(+)0.4453125(-)100.444335937(+)0.444824218(+)0.4453125(-)例6在区间[2,4]上考虑如下2个迭代格式的敛散性（1）（2）解：（1），当时，；，由收敛定理可知对任意的，迭代格式收敛（2），当时，从而该迭代格式发散。例7用迭代法求方程在0.4附近的根，精确到4位有效数字。解：将方程改写成等价的形式，于是有。，从而迭代格式是局部收敛的，计算结果如下。，误差不超

5、过，从而近似解具有4位有效数字。例8用列主元Gauss消元法解线性方程组解：方程组的增广矩阵为１２，通过回带过程得解为。例9将方程组的系数矩阵作LU分解，并求方程组的解。解：增广矩阵为，LU的紧凑格式为，所以系数矩阵的LU分解为，等价的三角形方程组为，解得。例10假设矩阵，求。解：的特征方程为，其特征根为例11讨论用Jacobi迭代法求解线性方程组的收敛性，如果收敛，取初值，求。解：方程组的系数矩阵，迭代矩阵１２，特征方程即，通过计算得其特征值为，因此，从而迭代法是收敛的。迭代格式为，将初值带入计算可得例12讨论用Guass-Seidel迭代法求解线性方程组的收敛性，如果收敛，取初值，求

6、。解：方程组的系数矩阵，迭代矩阵的特征方程即，通过计算得特征值为，因此，从而迭代法是收敛的。迭代格式为，将初值带入计算可得例13已知，用一次插值多项式、二次插值多项式近似sinx，并用此近似求出。解：取和作为节点作一次插值得取和作为节点作一次插值得。取、和为插值节点，作二次插值１２误差分析：可以看出用和做线性插值的精度比用和做线性插值的精度高，因为在和之间。例14已知节点上的函数值及，求一个次数不超过3的多项式使得，且，并估计插值余项，其中互不相同。解：（1）求插值多项式，假设，其中，由于，得到（1）假设，由于，是R(x)的一重零点，是二重零点，从而，显然在插值区间内，作辅助函数，显然在

7、插值区间内有5个零点，分别是，，，，，反复使用Rolle定理可得，即，。例15假设互不相同，使用Lagrange插值方法可以求出满足插值条件的插值多项式，使用Newton插值方法可以求出满足插值条件的多项式，问是否成立？为什么？解：是成立的假设满足插值条件的多项式为，则（1）１２由于互不相同，方程组（1）的系数行列式，从而方程组（1）只有唯一解，即满足插值条件的多项式是唯一确定的，而和满足相同的插值条件，所以例16假设是Lagran