2012新高考全案 第1章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题与充要条件

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1、第1章第2讲一、选择题1．命题：“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是(　　)A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1[解析]　A是已知命题的否命题，B是逆命题，比较C、D易知应选D.[答案]　D2．(2011·惠州二模)给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的(　　)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件[答案]　B3．若集合P＝{1,2,3

2、,4}，Q＝{x

3、0＜x＜5，x∈R}，则(　　)A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件[解析]　∵PQ，∴x∈P⇒x∈Q，而x∈Q，推不出x∈P.∴“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，故选A.[答案]　A4．(2010·浙江卷)设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不

4、必要条件[解析]　因为0＜x＜，所以0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，从而xsinx＜1时，有xsin2x＜1，反之不成立，故选B.[答案]　B5．(2011·广州一模)“a＞b”是“2＞ab”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　不等式()2＞ab等价于a2＋b2＋2ab＞4ab即(a－b)2＞0.只要a≠b就成立，所以选C.[答案]　C6.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的(　　)A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[解析]

5、　设p为“若A则B”，则r，s，t分别为“若綈A则綈B”、“若綈B则綈A”“若B则A”，故s是t的否命题．[答案]　C二、填空题7．下列命题：①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中假命题的个数为________．[解析]　①是“p或q”形式的复合命题，只要p和q中的一个真命题就真．故命题①真．②是“p或q”形式的复合命题，同理为真；③否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题；④逆命题是“两条对角线相等的四边形是矩形”，是假命题，比如等腰梯形的对

6、角线也相等．[答案]　18．若(x－1)(y＋2)≠0，则x≠1且y≠－2的否命题是________；逆否命题是________．[答案]　否命题是：若(x－1)(y＋2)＝0，则x＝1或y＝－2；逆否命题是：若x＝1或y＝－2，则(x－1)(y＋2)＝0.9．函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上为单调函数的充分条件是________．[解析]　二次函数对称轴为x＝a，当a≤1或a≥2时函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上为单调函数．[答案]　a≤1或a≥210．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的

7、充要条件是________．[解析]　①当a＝0时，x＝－合题意；②当a≠0时，解Δ＝4－4a＝4(1－a)≥0得a≤1.显然两根x1，x2均不为零假设两根均为正根则所以，当a≤1且a≠0时方程至少有一负根，综上，符合条件的a的范围是(－∞，1]．[答案]　a∈(－∞，1]三、解答题11．(文)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．①若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；②若ab＝0，则a＝0或b＝0；③若x2＋y2＝0，则x、y全为零．[解]　①逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，逆命题

8、为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，否命题为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，逆否命题为真命题．②逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，逆命题为真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，否命题为真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，逆否命题为真命题．③逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，逆命题为真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，否命题为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，逆否命题为真命题．12．(理)已知函数f(x)在(－∞，

9、＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题：“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．写出逆命题，逆否命题，判断真假，并证明你的结论．[解]　先证原命题：“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”为真．a＋b≥0