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1、1第三章向量空间2第三章向量空间3.1向量空间的概念3.2向量的线性关系3.3向量组的秩3.5矩阵的秩3.4线性空间的基维数坐标33.1向量空间的概念第三章向量空间几何空间维向量向量的运算向量组与矩阵向量空间4在几何空间中,既有大小又有方向的量称为向量.三维向量的坐标表示为：向量的加法与数乘运算：向量的平行：若两个非零向量的方向相同或相反,则称这两个向量平行.由于零向量的方向可以看作是任意的,所以零向量与任意向量都平行.1.几何空间向量：向量的表示：向量的运算：建立了空间直角坐标系的三维空间复习(称为线性运
2、算)为常数)两个向量平行5证明略定理3.1存在不全为零的实数使得不妨设线性组合6定理3.2存在不全为零的实数使证明略不妨设在所在的平面上,故共面.三个向量共面线性组合73.1向量空间的概念第三章向量空间几何空间维向量向量的运算向量组与矩阵向量空间8定义3.1分量全为实数的向量称为实向量，几何空间中的三维向量是由三个实数构成的有序数组，现将它推广到n维情况：如不特别声明,我们所讨论的向量均为实向量.n个数组成的有序数组称为n维向量.这n个数称为该向量的n个分量,ai称为第i个分量.至少有一个分量为复数的向量称
3、为复向量.2.n维向量例如:n维实向量n维复向量n维向量的本质:它有n个独立变化的分量.9n维向量写成一行,称为行向量,也就是行矩阵，n维向量写成一列,称为列向量,也就是列矩阵,等表示，如：通常用通常用等表示，如：n维向量的表示方法：10若两个n维向量对应分量相等,即则称这两个向量相等.向量相等：113.1向量空间的概念第三章向量空间几何空间维向量向量的运算向量组与矩阵向量空间12已知加法数乘注意:向量的加法与数乘运算称为向量的线性运算.3.向量的运算n维零向量的负向量13向量加法与数乘的性质:若则143.
4、1向量空间的概念第三章向量空间几何空间维向量向量的运算向量组与矩阵向量空间15向量组的定义：称为向量组.由m个n维向量构成的集合记作4.向量组与矩阵注释：向量组必须由同维数的向量构成.向量组有两个数字：m和nm是向量组所含向量个数；n是向量组的维数，即每个向量中独立变化分量的个数.16向量组的定义：向量组与矩阵的关系：称为向量组.向量组a1,a2,…,an称为矩阵A的列向量组.由m个n维向量构成的集合记作矩阵4.向量组与矩阵17向量组类似地,矩阵有m个n维行向量.称为矩阵A的行向量组.矩阵可由列向量组构成.
5、由此可知：矩阵也可由行向量组构成.18反之，由有限个同维数的向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.m个n维列向量所组成的向量组构成一个矩阵.m个n维行向量所组成的向量组构成一个矩阵.193.1向量空间的概念第三章向量空间几何空间维向量向量的运算向量组与矩阵向量空间20注释:定义3.6(1)集合V对于加法及数乘两种运算封闭是指如果集合V非空，设V为n维向量的集合，且集合V对于向量加法及数乘两种运算封闭，则称集合V为实数域上的向量空间．集合V非空对加法封闭对数乘封闭(2)向量空间5.向量空间21解是一个向量空间.
6、(1)三维向量的全体构成的集合例1非空;设是一个向量空间.022是一个向量空间.实数域上的全体n维向量构成的集合同理,可以验证:也是一个向量空间,称为实数域上的n维向量空间.三维向量的全体构成的集合例123则称V1是V2的子空间．定义3.7设向量空间V1及V2，若o例如：坐标轴：x轴,y轴,z轴都是向量空间，都是的子空间.坐标面：都是向量空间，都是的子空间.24则称V1是V2的子空间．定义3.7设有向量空间V1及V2，若例2判别下面集合是否为向量空间.其中解(1)由非空;(2)设故V1是向量空间,的子空间.
7、且是25判别下面集合是否为向量空间.解：例3故V2不是向量空间.因为26例4判别下面集合是否为向量空间.解齐次线性方程组解向量的集合构成了向量空间.非齐次线性方程组的解向量的集合不构成向量空间.称为方程组Ax=0的解空间.V非空;故V是向量空间,故S不是向量空间.27试判断V是否为向量空间.解显然V非空，对任意于是故V是向量空间.例5设为已知的n维向量,称为由向量所生成的向量空间.所张成的平面28试判断V是否为向量空间.一般地，解显然V非空，对任意于是故V是向量空间.例5记为由向量组可生成向量空间设为已知的
8、n维向量,称为由向量所生成的向量空间.29试判断V是否为向量空间.一般地，例5记为由向量组可生成向量空间设为已知的n维向量,o例如：几何空间维向量向量的运算向量组与矩阵向量空间303.1向量空间的概念第三章向量空间31作业习题3.1A：1,2,3B:132第一节课----3-1第二节课----习题课(Ch1,2)两个向量平行33证明定理3.1存在不全为零的实数使得由于平行,(1)当时,令若同向,则有即若反向,则有
