2.2节 远期合约的价格_远期商品

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1、第1.5节远期合约的价格(补充)By:WuYineng第1.5节远期合约的价格(补充)一、连续复利(ContinuousCompounding)假设数额A以年利率R投资了n年。如果利率按每一年计一次复利计算，则以上投资的终值为：A(1+R)n(2-2)如果每年计M次利息，则终值为：(2-3)设A＝100美元．每年年利＝10%。n＝1时,请分别计算1年计1次息,2次息和四次息的终值(1)一年只计一次复利(m＝1)时，100美元增长到$100×1.1＝$110(2)一年计两次利息(m＝2)时，100美元增长到$100×1.05×1.05=$110.25(3)一年计四次利息(m＝4)时

2、，100美元增长到:$100×1.0254=$110.38如果我们进一步提高复利频率到m趋于无穷大时，就称为连续复利。在连续复利情况下，数额A以利率R投资n年后．将达到:AeRn(2-4)连续复利利率与多次计息利率的关系假设Rl是连续复利的利率．R2是与之等价的每年计M次复利的利率,则有或(2—3)这意味着以及(2-5)这些公式可将复利频率为每年计m次的利率转换为连续复利二.假设条件在本节中．我们假定对部分市场参与者而言，以下几条全部是正确的：1．无交易费用。2．所有的交易收益(减去交易损失后)使用同一税率。3．市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金4当套利机会出现时．市

3、场参与者将参与套利活动。三、无收益证券的远期合约的定价由于没有套利机会，对无收益证券而言，该证券远期价格F与现价S之间关系应该是F=Ser(T-t)(2-6)式中:F——时刻T时的远期价格；S——远期合约标的资产在时间t时的价格；r——对T时刻到期的一项投资而言，时刻t以连续复利计算的无风险利率；T——远期合约到期时间(年)；t——现在的时间(年)。公式证明(1)若F>Ser(T-t)一个投资者可以以无风险利率借S美元，期限为：T-t，用来购买该证券资产，同时卖出该证券的远期合约。在时刻T，资产按合约中约定的价格F卖掉．同时归还借款本息Ser(T-t)。这样，在时刻T就实现了F-

4、Ser(T-t)的利润。(2)若F

5、A：一个远期合约多头(f)加上一笔数额为Ke-r(T-t)的现金(K为远期合约中的交割价格)。组合B：一单位标的证券。在组合A中，假设现金以无风险利率投资，则到时刻T时，现金数额将达到K。在远期合约到期时，这笔钱正好可以用来购买该标的证券，在时刻T，两个组合都将包含一单位的标的证券，在到时刻T以前，如时刻t时．两个组合的价值也应该相等;否则，投资者就可以通过购买相对便宜的组合，出售相对昂贵的组合来获得无风险利润。因此，有：f+Ke-r(T-t)=Sorf=S-Ke-r(T-t)（2-7）时刻t时，远期合约多头的价值远期合约中债券的交割价格债券的现价当—个新的远期合约生效时，远期价

6、格等于合约规定的交割价格，且使该合约本身的价值为零。因此，远朗价格F就是公式中令f=0的K值，即：0=S-Ke-r(T-t)=>K=Ser(T-t)把K用F表示,即F=Ser(T-t)（2-8）例2考虑一个6个月期的远期合约的多头情况，标的证券是一年期贴现债券，远期合约交割价格为$950。我们假设6个月期的无风险利率(连续复利)为年利率6％，债券的现价为$930。求该该合约空头的价值.解:先求该远期合约多头头寸的价值f,这里:T-t=1/2,r=0.06,K=950,S=930f=S-Ke-r(T-t)=930-950e-0.06*0.5=930-950×0.9704=930-9

7、21.92=8.08(美元)所以,该远期合约的空头价值为-f,即-8.08美元.四.支付己知现金收益证券的远期合约的定价我们考虑另一种远期合约，该远期合约的标的资产将为持有者提供可完全预测的现金收益。例如支付己知红利的股票和付息票的债券。设I为远期合约有效期间所得收益的现值、贴现率为无风险利率。由于没有套利机会，F和S之间的关系应是：F=(S-I)er(T-t)（2-9）式中：F——时刻t时的远期价格；S——远期合约标的资产的时间t时的价格;r——对T时刻到期的一项投资而言，时刻