15定积分的概念

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1、1.5定积分的概念【知识体系】1.定积分的概念一燉地，设函数/(力在区间［。,列上连续，用分点a=x()

2、：(1)定积分^f(x)dx是一个常数，即S”无限趋近的常数S(HT+oo时)称为If(x)dx,而不是S卄Ja(2)用定义求定积分的一般方法是：n卜一③求和：/=

3、斤①分割：几等分区间［a,b］:②近似代替：取点纟$［兀—，兀.］；/(»④取极限:f/(x)Jx=lirn^/(^)—S=£v(t)dt；变力做功VV=£(3)曲边图形面积：5=£/(%>/%；变速运动路程F(r)dr2.定积分的几何意义如果在区间［a,b］上函数连续且恒有/(x)>0,那么定积分［f(x)dx表示由肓•线x==b(a^b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。说明：一般情况

4、下，定积分（兀皿的几何意义是介于兀轴、函数/（X）的图形以及直线x=a,x=b之间各部分血积的代数和，在兀轴上方的血积取正号，在兀轴下方的面积取负号.•••f/（兀）必=兀轴上方面积减x轴下方的面积1.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1Jdx-b-a性质2[kf（x）dx=k[f{x）dx（其中R是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质3性质4f［/i⑴±f2(x)］dx=£(x)Jx±£/2(x)dxbcbJY(兀)dx=j/(x)Jx+0,xg［a,b

5、］f则(/(x)dxnOchfb性质6如果在区间［⑦方］上有/(x)

6、x；间［兀•_］，兀］的长度=Xj一X/T,第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小Illi边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值.第三步：求和.第四步：取极限。说明：（1）归纳以上步骤，其流程图表示为：丽t

7、以直代曲

8、t丽T甌（2）最后所得Illi边形的面积不是近似值，而是真

9、实值2.一-般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v（r）,那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在c/WtWb内所作的位移S.【范例延展】例1：求图中阴影部分是由抛物线y=x2,直线x=l以及兀轴所围成的平而图形的而积So思考：（I）曲边梯形为“直边图形”的区别？（2）能否将求这个Illi边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题?练习：求y=2x-/,y=0,05x52围成图形面积例2.汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时I'可f所行驶的路程为S=vt.如果汽车作变速直线运动，在时刻/的速

10、度为v（r）=-r2+2（单位：km/h）,那么它在OW/W1（单位：h）这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）练习：弹簧在拉伸的过程屮，力与伸长量成正比，即力F{x}=kx(£为常数，兀是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉氏b所作的功.利用定积分的儿何意义求卞列定积分1.

11、(%+Y)dx2.『(2x—4)dx