[理学]07年考研

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1、07年数一(6)设曲线厶：/(%,y)=l(/(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II彖限内的点M和第IV象限内的点、N,T为厶上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是(A)£/(x,y)dx.(B)J/O,(C)jrf(x,y)ds.(D)£f'(x,y)dx+/'(x,y)dy.【】【答案】应选(B).【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】设M、N点的坐标分别为M(%,,y,),N(x2,y2),^y2.先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：Tf^y^=Tdx=x2-xx>

2、0;^f(x,y)dy=^dy=y2-yi<0;］丿(兀,y)d$=J>°；£.快,y)dx+/；(%,y)dy=£dfgy)=0.故正确选项为(B).【评注】对于线、面积分，应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简，然后再积分.数二⑻设函数/(兀,y)连续,则二次积分匸力J—Jsinx/(-r,y)dy等于(B).J()J/r-arcsinyy)dx.(A)dyV./(x,y)dx.JOJ^r+arcsinyW+arcsinyflr;r-arcsinyf(x9y)dx.(D)J。创兰/(兀曲天•【】22【答案】应选

3、(B).【分析】先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。7T【详解】积分区域D:-

4、+

5、y

6、

7、中D={(x,j)

8、

9、x

10、+

11、^

12、<2}・D【分析】被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。【详解1】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有JJf(x,y)da=4jj/(x,y)d(rDD}其中为D在第一象限的部分.设£>1(={(x,y)10<>'0,y>0}JJ/(兀,y)d"=JJ*d(y=£述x2dxf1->1=Ix~(1—x^dx=—,Jo12[7T2JJf(x,y)d(7

13、=jj(—do-d&Jsin&yos&d厂Di2D27*+ysin&+cos&=V21n(V2+l).因此Jf/(兀,y)d(y=4口/(兀,y)da=-+4V2ln(V2+1).DD、彳【详解2】记£>,={(x,y)

14、

15、x

16、+1yI<1),O2=D-D,,则JJ/(兀,=JJ/(^yW+jj/(x,ywDDD2=4p创:&，+4[f城f脅1=

17、+4V21n(V2+l).数二【评注】被积函数包含+时,可考虑用极坐标较容易；解法二在计算积分da时，利用了将区域D2转化为区域D减去Q,而后面这两块区域均方便积分.

18、(4)设函数连续，则二次积分f(x,y)dy等于ysinx(A)fdyV./(x,y)dx.JOJ/r+arcsmy(A)匸•/(X')'皿•JOJ^-arcsiny「1『zr+arcsinyplp/r-arcsinv(B)Jo〃)L/(兀，刃必•(D)Jo今

19、艺/(x,y)dx.99【答案】应选(B).【分析】先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。【详解】积分区域D:—

20、(B).J—JsinxJOJ^-arcsinyrrjr【评注】确定y的取值范围时应注意：当—时，尸sinx=sin(;r-x),0W;r-x5—，于22是7T-x=arcsiny,从而x=^-arcsiny.(18)(本题满分11分)设二元函数/(兀y)x2,17^+7半1,,1vx+y52,计算二重积分jj/(x,y)d(y,其中Z)={(x,y)

21、卜

22、+

23、^

24、<2}・D【分析】被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。【详解1】由区域的对称性和

25、被积函数的奇偶性有JJ/(X，y)db=4口/(兀,y)d(yDD{其中为D在第一象限的部分.设DH={(x,y)

26、00,y>0}JJ/(x,y)Jcr=J

27、x2Jcr=JtZxJx2dx6D=f%2(1—x)dx——,Jo127t2sin&+cos0%627x十ysin0+cQs0d’“=V