171定积分在几何中的应用

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1、人教A版1.7.1、知识精讲选修2—2精讲细练定积分在几何中的应用用定积分求“曲边图形”面积的步骤：(1)先作出草图，确定所求阴影部分面积；(2)解方程组得到交点的坐标，确定被积函数以及积分的上、下限;(3)把所求的面积用定积分表示；(4)根据微积分基本定理求出面积.二、典例细练【题型一】：不分割型图形面积的求解例题1:求下列曲线所围成的图形的面积；)'=8—^2,【解析】：作出曲线y=8-r,的草图，所求面积为图中阴影部分的面积.得交点的横坐标为x=—2及x=2.因此，所求图形的面积为S=2(8—x2)

2、dx—J_2X2dx=(8x~

3、x3)

4、-2-

5、x3

6、-2=y.变式训练1：如图所示，阴影部分的面积是()A.2^3B.2-^3c.fD.【答案】c【解析】S=p—3(3—x2—2x)dx即F(x)=3x—yx3—x2,则F(l)=3-l-

7、=

8、,F(—3)=—9一9+9=—9・532・•・S=F(l)-F(-3)=y+9=—.故应选C.变式训练2:(山东理，7)由曲线y=x[y=x3围成的封闭图形面积为(B4C3D12【答案】A【解析】由”一：得交点为(0,0),(1,1).ly=x‘变式训练3:(全国

9、I理9)由曲线y=仮，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为(A)—(B)4(C)—(D)633【答案】C【题型二】：分割型图形面积的求解例题2:求下列曲线所围成的图形的面积；y=6—x,y=V8x,x=0。作出直线y=6—x,曲线y=辰的草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程]_边-得直线y=6—x与曲线y=J耳交点的坐标为(2,4),直线y=6—x与x轴的交点坐标为(6,0).因此，所求图形的面积S=S1+S2=j(#^dx+f(6—x)dx=*/8xyx2^+(6x—^x2)

10、?=^+[(6

11、><6—^x62)—(6x2—^x22)]=^+8=^.变式训练1:由曲线y=x?—1、直线x=0>x=2和x轴围成的封闭图形的面积(如图）是（）A.J*2（x2—l）dxC.f2

12、x2-l

13、dx丿o【答案】C【解析】y=匱一1

14、将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，故应选C.变式训练2:由曲线y2=2x,y=x—4所围图形的面积是・【答案】18【解析】如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程y2=2x组,得交点坐标为(2,-2),(8,4).ly=x_4因此所求图形的面积S=j

15、4(y+4—手)dy1?y3y2取F(y)=^+4y_右,则F(y)=y+4—牙，从而S=F(4)-F(—2)=18.