物理奥林匹克试题2007-08

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1、物理奧林匹亞試題文/林明瑞本刊徵得物理奧林匹亞國家代表隊選訓小組的同意，每期精選若干試題和解答，以饗讀者。本期刊登二道試題。【本期試題評註】：本期提供兩道力學試題，一為變質量系統的力學問題，另一為剛球的滑動、滾動、和碰撞問題。這兩題的解法過程應有助於增進讀者對力學問題的理解和分析能力。一、變質量系統的力學問題(a)一貨車在水平面上沿x軸方向運動，由於所載運的貨物沒有綁牢，不斷的有貨物從車上掉落。在某一瞬間t，貨車的質量為m(t)，速度為v(t)，貨車因貨物掉落所造成的質量損失率為R(t)(R(t)<0)。若貨車的加速度為a(t)，且

2、掉落的貨物相對地面的速度為U，求當時貨車所受的外力。(b)右圖所示為一阿特武德機，今以一輕繩繞過光滑的滑輪，將左右兩物體甲和乙相連。甲為質量0.99M的重物，而乙為一裝有水的水桶。假設水桶的截面積為A，桶重可忽略，起始時桶內的水深為H，水的質量為M。今在t=0時，將右邊的圓桶底部中央鑿一面積為a(a<0時，能恆向下運動，則該小洞的最小值a應為何（以a/Acc表示之）？H乙解：林明瑞(a)設貨車所受的外力為

3、F，貨車和掉落貨物的總動國立台灣師範大學物理系ext量為p，則經過∆t之後，E-mail:mjlin@phy03.phy.ntnu.edu.twF∆t=p(t+∆t)−p(t)(1)ext■875■物理雙月刊(廿九卷四期)2007年八月物理奧林匹亞試題設m(t)和v(t)分別為貨車在時刻t時的質量和速度，則其總動量為p(t)=m(t)v(t)(2)其後經∆t時間後，貨車的質量變為m(t+∆t)=m(t)+∆m，式中∆m為負值，其速度變為v(t+∆t)=v(t)+∆v。掉落的貨物質量為(−∆m)，其相對於地面的速度為U。因此貨車和掉落

4、的貨物在時刻t+∆t時的總動量為p(t+∆t)=(m(t)+∆m)(v(t)+∆v)+(−∆m)U(3)將(2)和(3)兩式代入(1)式，得F∆t=m∆v+(∆m)(v−U)(4)ext令∆t→0，由上式可得dvdmF=m+(v−U)=ma+R(v−U)(5)extdtdtdm式中R=。dt(b)設在時刻t時，繩子的張力為T，甲和乙的加速度為a，乙的質量為m，桶內水面的高度為h，參考右圖，甲和乙兩物體的運動方程式可寫為0.99Mg−T=0.99Ma(6)dm甲T−mg=ma+v(7)reldt0.99Maa(7)式是引用(a)小題的

5、結果，即(5)式，式中v為水流出小洞時相對reldm於水桶的速度，而=−ρva。由於水桶的加速度為a，方向乙rel0dthm為鉛直向上，因此相對於桶身而言，桶內的水所受的等效重力加速dm度為g+a。若a<

6、g(10)0.99M+m−2ρha0■876■物理雙月刊(廿九卷四期)2007年八月物理奧林匹亞試題代入M=ρHA和m=ρhA，得A(0.99H−h)+2ah(0.99H−h)+2ah/A0.99H−(1−2a/A)h000a=g=g=gA(0.99H+h)−2ah(0.99H+h)−2ah/A0.99H+(1−2a/A)h000上式中的分母恆為正，故若欲a>0，則分子必須恆為正，即0.99H−(1−2a/A)h>002a0.99H0≥1−Ah0.99H0.99H式中h≤H，故1−

7、=1−=0.01。因此可得a0的最小值（ac）為hmaxH2aacc=0.01⇒=0.005(仍滿足a<µk），回答下列問題：（圓球繞中心軸的轉動慣22量為I=MR）5(a)若圓球A以純滾動方式運動，則µs的最小值為何？(b)承(a)小題，在圓球A滾至水平地面後，其質心速率為

8、何？(c)承(b)小題，設圓球A的質心速率為v，若該球與另一原先靜止在水平地面上的完全相同的圓球B，發生正向彈性碰撞，則兩球在碰撞後的瞬間，其質心速率及角速率各為何？答案以v和R表示之。(假設兩球體表面之間的摩擦力可以忽略不計。)(d