2007-08概率统计A卷试题及答案

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1、2007–2008学年第一学期《概率论与数理统计A》试卷答案2008年1月16日一二三四总分得分一、填空题（每小题3分，满分21分，把答案填在题中横线上）1．设，且至少有一个发生的概率为，至少有一个不发生的概率为，则0.3．解已知，，，，2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为0.2．解设A表示事件“甲乙相邻而坐”。样本空间所包含的基本事件数为11！，事件A包含的基本事件数为3．设随机变量，则对任意实数，有或．4．设随机变量的方差和相关系数分别为，则16．解=165．设，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则0．975．解1

2、.96是标准正态分布的上0.025分位点，即6．设是来自总体的样本，则当常数时，是参数的无偏估计量．7．设总体，是来自总体的样本，为样本均值，为样本方差，未知，若检验假设，应取检验统计量为~t(n-1).得分二、选择题（每小题3分，满分18分）1．若随机变量满足条件，则下面结论不成立的是（C）（A）不相关．（B）．（C）相互独立．（D）．2．设随机变量的概率密度为则k等于（B）（A）．（B）．（C）0．（D）1．3．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（D

3、）（A）．（B）0．（C）12．（D）1．解设，则设X表示拿到自己枪的人数.则4．设为相互独立的随机变量，其分布函数分别为和，则随机变量的分布函数为（A）（A）．（B）．（C）．（D）．5．设是来自总体的样本，则下面结论正确的是（C）（A）．（B）．（C）．（D）．6．设总体，为未知参数，样本的方差为，对给定的显著水平，检验假设的拒绝域是（B）（A）．（B）．（C）．（D）．得分三、计算题（每小题10分，满分50分）1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25;当两个元件损坏时，系统发生

4、故障的概率为0.6;当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95;当三个元件都不损坏时，系统不发生故障.求系统发生故障的概率．解设表示“系统发生故障”的事件，表示“有个元件发生故障”的事件，；由全概率公式由已知，，，，，所以2．设随机变量X的分布律为-10120.1若，(1)求常数a,b;(2)求Y=X2的分布律.解(1)由,=1,解得a=0.3,b=0.4.(2)Y=X2的可取值为0,1,4.0.2,+0.1+0.3=0.4,0.4,因此Y=X2的分布律为0140.40.43．设二维随机变量的联合概率密度函数为（1）求常数；（2）求关于的边缘概率

5、密度函数；（3）判断是否相互独立；（4）求．解（1）由，有，得；（2）=,当或时，=0,当时，，所以同理（3）由，所以不相互独立（4）.4．设随机变量相互独立，其概率密度分别为求的概率密度．解法1由卷积公式因为所以当时当时解法2先求Z的分布函数.联合密度函数为当时,当时,分布函数为再求导,得概率密度5．设是来自总体的样本，求和的最大似然估计量．解设，相应的样本观测值，则似然函数为取对数，得将分别对与求偏导数，并令其等于零，得方程组解此方程组，得到参数和的最大似然估计值是因此,和的最大似然估计量是得分四、证明题（共2道小题，满分11分）1．（6分）若，

6、试证．证明因为由，所以得从而即所以．2．（5分）设是来自总体的样本，证明．证明根据，且，由切比雪夫不等式，有．