对数函数的单调性、奇偶性的运用

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1、--对数函数的单调性、奇偶性的运用张军丽一、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.1.比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在

2、横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.-----1-----解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函

3、数，且5.1<5.9，所以，loga5.1loga5.9解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则，令b2=loga5.9，则当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1b2，即.举一反三：【变式1】（2011天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又

4、∵为单调递增函数，∴故选C.2.证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同-----2-----时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x10的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1

5、a>1，∴f(t1)1或00，即-1

6、3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.二、函数的奇偶性4.判断下列函数的奇偶性.(1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.-----4-----总结升华：此题定义域的确定可能稍

7、有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、对数函数性质的综合应用5．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，

8、考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现：使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集