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1、§1.5定积分的概念第一课时曲边梯形的面积一、教学目标：理解求Illi边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程小渗透的思想方法。二、教学重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（収极限）教学难点：对过程中所包含的基本的微积分“以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段I韦I成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都冇非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会
2、定积分的思想及其应用价值。•个概念：如果函数y=/（x）在某一区间I上的图像是一条连续不断的Illi线，那么就把函数y=/（x）称为区间/上的连续函数.（不加说明，下面研究的都是连续函数）2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线）.，=/（对的一段，我们把由直线x===O和
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4、线y二/（兀）所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图屮阴影部分是由抛物线v=x2，直线兀=1以及兀轴所围成的平面图形的面积S。思考：（1）Illi边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个Illi边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的
5、问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形冇一边是曲线段，“直边图形”的所冇边都是直线段•“以直代曲”的思想的应用.把区间［0,1］分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小Illi边梯形，对每个小Illi边梯形“以直代取”,即用矩形的面积近似代替小Illi边梯形的面积，得到每个小Illi边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值.分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.解：（1）.分割在区间［0,1］上等间隔地插入n-1
6、个点，将区间［0,1］等分成H个小区间:~T^Tn-•••9，——，1■nn.n记第，个区间为i-iz-11（心1,2,・・・皿），其长度为心nnn分别过上述〃-1个分点作兀轴的垂线，从而得到斤个小曲边梯形，他们的面积分别记作：A52,…，显然，S=^S.t/=!（2）近似代替记/（x）=x2,如图所示，当斤很人，即山很小时，在区间上，可以认为函数/（x）=x2的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点』处的函数值/n,从图形上看,就是用平行于兀轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）.这样，在区间t,用小矩形的面积AS：近似的代替即在局部
7、范围内“以直代取”，则有丄（21,2,…加①n△S产A5；=f（3）求和：由①，」:图中阴影部分的面积S”为1(n-l)n(2n-l)1(1V」/6311-丄、2〃丿（4）取极限：分别将区间［0，1］等分8,16,20,…等份（如图），可以看到，当〃趋向于无穷大时，即山趋向于。吋，S”冷1-丄斤丿哙］趋向于S,从而有-=lim-
8、1n心。03vS=hmSn=hmYf1卜丄1八2/?丿从数值上可以看出这一变化趋势:
9、x：
10、hJ匚o・1JrtV£W冰八.s2O・125OOOOO4O.218750oo8O.2731375016O・302731Cr32o.317871096-
11、1o.325SB15212Ko.32S)•1<5/26256o.331382lo512o.332*•5£>7411021o.332«IS212048O-...08923••••••3.求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割.在区间［。，切中任意插入斤-1各分点，将它们等分成e个小区间［心
12、,无］（心1,2,・・・，町，区间［xi_［,xi］的长度ZLv,=x/.-x,_1,第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面枳近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值.第三步：求和.第四步:取极限。说明：1•归纳以上步骤，其流程图表示为：丽t
13、以点代闽T丽T踰练习
14、：求H线x=0.x=2.y=02.最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积.（“以直代曲”的思想）四、课堂小结：求曲边梯形的思想和步骤：丽T
15、以直代國T丽T離第二课时汽车行驶的路程-：教学目标1、知识与技能目标：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。2、过程与方法：通过与求曲边梯形的而积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。3、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量
