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《专题突破四高考立体几何问题的求解策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题突破四高考立体几何问题的求解策略类型1用向量法求线线角、线面角利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：(1)分别求岀斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平而的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平而的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.图4-1【典例1】(2015,长沙模拟)如图4・1所示，在四棱锥P-ABCD中，刃丄平面ABCD,4B=4,BC=3,AD=5,ZDAB=ZABC=90°,E是CQ的中点.(1)证明：CD丄平面刃E；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥的体
2、积.［思路点拨］⑴以点/为处标原点建系,用向量法证明CD丄力E,(2)先确定平面PAE和平面ABCD的法向量，再根据直线PB的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值相等求/只［规范解答］如图所示，以/为坐标原点，4B,4D,力戶所在直线分别为兀轴，p轴，z轴建立空间直角处标系.设PA=h,则相关各点的坐标为：力(0,0,0),5(4,0,0),C(4,3,0),2)(0,5,0),£(2,4,0),P(0,0,h)・—►―>―A(1)证明:易知CD=(—4,2,0),M=(2,4,0),仲=(0,0,h).—>―►—►―►因为CQME=—8+8+0=0,CDAP=0,所
3、以CD1AE,CQ丄/P而/P,/E是平面丹E内的两条相交直线，所以CD丄平面B4E.(2)由题设和⑴知，CD,丹分别是平面丹E,平面ABCD的法向量.而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以
4、cos〈CD,PB)
5、=
6、cos〈R4,PB)DPCDPBPAPBCD[PB\PA[PB由(1)知,CQ=(—4,2,0),丹=(0,0,一町,又PB=(4,0,—h).-16+0+00+0+川故2萨・寸16+/?
7、=
8、"16+/?-解得b=洋.又梯形ABCD的面积为S=*X(5+3)X4=16,所以四棱锥P-ABCD的体积为V=^XSXR4=^X6X
9、^-=128书15•【反思启迪】1•求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种•传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解•用向量法可避幵找角的困难,但计算较繁，所以要注意计算上不要失误.2.对于角的计算，一般是把所求角进行转化，体现了化归与转化思想，主要是将空间角转化为平面角或两向量的夹角.【变式训练1】(2015-贵阳模拟)如图42正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于4D,/E丄平面CDE.(1)求证：丄平面ADE；(2)在线段BE上存在点M,使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为普,试确定点M的位置.V图
10、4・2［解］(1)证明•••/£丄平面CDE,CQU平面CQE,:.AELCD.在正方形ABCD中，CD丄AD,VADHAE=A.・・・CD丄平面/DE.•:AB//CD,:.AB丄平面ADE・(2)由(1)知平面E4Q丄平面ABCD,取&D中点0,连结E0,•・・EA=ED,:.EOLAD,・・・E0丄平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2,贝打(1，0,0),5(1,2,0),E(0,0,l),设做兀，p,z),—A—A:.BM=(x-hy-2,z),BE=(_,—2,1),•:B,M,E三点共线，:.BM=XBE9・・・M(1—儿2-2A,A),:.AM
11、=(-A,2—2儿X).
12、2—22
13、[6)6於—82+43设/M与平面AED所成的角为&,•・•平面AED的法向量兀=(0,1,0),Asin^=
14、cos{AM,n}解得^=2*类型2用向量法求二面角利用空间向量法求二面角的方法：(1)分别求出二而角的两个面所在平而的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(1)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足岀发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题.图4・3【典例2］(2014-浙江高考)
15、如图4-3,在四棱锥A-BCDE中，平面/BC丄平面BCDE,/CDE=/BED=90。,4B=CD=2,DE=BE=1,AC=^2・⑴证明：DE丄平面ACD；(2)求二面角B-4D-E的大小.［思路点拨］(1)由勾股定理求得AC与BC垂直，由面面垂直的性质得lhAC与QE垂直，从而得出线面垂直；(2)用几何法求二面角,先找到二面角的平而角，再用余弦定理求出角的大小，或者用空间向量建立空间直角坐标系，转化为平面的法向量的夹角.［规范解答］(1)证明：在直角梯形BCDE中，DE=BE=hCD=
