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1、三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三甬形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角笳，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三甬形三边的不等关系证明，如：例丄L已知如图1-hDvE为△ABC内两点2求证:AB土ACRBD土DE土CE・_证明：(法一)将DE两边延长分别交AB、AC于M、N,在ZXAMN中，AM+AN>MD+DE+NE;(1)在△BDM中，MB+MD>BD；(2)在ZCEN中，CN+NE>CE；(3)由(1)+(2)+(3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+D
2、E+NE+BD+CE.-.AB+AOBD4-DE+ECA(法二：)如图1-2,延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在AABF和AGFC和AGDE屮有：AB+AF>BD+DG+GF(三角形两边之和人于第三边)(1)GF+FOGE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAAB+AOBD+DE+ECo二、在利用三芹形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外
3、角的位宣上，ZBAD,同理，ZCDF>ZCAD・・・Z
4、BDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD即：ZBDOZBACo洼意;…利担二鱼翌处鱼匡理匹期还等关系•吐?…廻宣務主角駆在某二鱼歩的处危企置一上一小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在玮的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如:如图3-1：已知AD为AABC的中线，且Zl=Z2,Z3=Z4,求证：BE+CF>EFo分松要证be+cf>ef,可利用三角形三边关系定理证明，须fc...BE,_CF,_EF<到冋二±.二角爭主工…西曲旦豹乙1=乙红….乙》=Z4,可在角的两边截取相等的线段，利用
5、三角形全等对应边相色把EN,FN,EF移到同一个三角形社证明：在DA上截取DM=DB,连接NE,NF,则DN=DC,在ZDBE和ADNE中:DN=DB（辅助线的作法）•・・{zi=Z2（已知）ED=£D（公共边）AADBE^ADNE(SAS)ABE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在AEFN屮EN+FN>EF（三和形两边之和大于第三边）.•.BE+CF>EFo后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四.冇以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角笳。例如丄一如图4二“AD为△ABC的虫线?jaZl=Z
6、2,Z3=Z4,求证丄_BE十CF：>EF证明：延长ED至使DM二DE,连接CM,MF。在CDM中,BD=CD（^点的定义）7Zl=ZC£）M（対顶角相等）=（辅助线的作法）AABDE^ACDM（SAS）又VZ1=Z2,Z3=Z4（已知）Zl+Z2+Z3+Z4=180°（平角的定义）.Z3+Z2=90°,即：ZEDF=90°/.ZFDM=ZEDF=90°在ZEDF和△UDF中ED=（辅助线的作法）TZEDF=ZFDM（已证）DF=DF（公共边）AAEDF^AMDF（SAS）・・・EF=MF（全等三角形对应边相等）・・•在△CM
7、F中，CF+CM>MF（三角形两边Z和大于第三边）・・・BE+CF>EF注：上题也可加倍FD,证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如:-如图":嗣为△便的史线—求证:J?士也;>沁分析：要证AB+AO2AD,由图想到：AB+BD>AD,AC+CD乙凰,所坯有gB+AC+BD+CPNAPjtAPh2如,一左边比要延结论多BD+CD,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段
8、转移到同一个三角形中去—证明：延长AD至E,使DE二AD,连接BE,则AE=2ADTAD为AABC的屮线（已知）・・・BD=CD（屮线定义）在ZXACD和AEBD中BD=CD（已证）ZADC=ZEDB（对顶角相等）图5-1图5-2AD=ED（辅助线
