211二重积分概念

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1、第二十一章二重积分§1二重积分概念教学目的与要求：1.掌握二重积分的定义和性质，二重积分的可积条件.2.了解冇界闭区域上的连续函数的可积性.3.了解平面点集可求面积的充要条件.教学重点：二重积分的定义和性质.教学难点：二元函数可积条件.教学过程一、平面图形的面积（一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念直线网:T分割平面图形P,T的网眼屮小闭矩形△，的分类:（i）：含的全是P的内点，（ii）亠含的全是P的外点（不含P的点），（iii）亠内含有P的边界点,记》広）为:T的第i类亠的面积的和.记Sp（D为T的第i和第三类的而积

2、的和..sup｛»（T）｝记乙二芒八〃，称为P的内面积.记几」肆匕（丁）｝,称为P的外面积.定义1若平面图形P的内而积［p等于它的外而积几，则称P为可求而积,并称其共同值ip=LJp为p的而积（约当，黎曼测度）定理21.1平而有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的£>0,总存在直线网厂，使得Sp（T）—・（2）证明［必要性］设平面有界图形P的而积为由定义1,有Ip=Lp=Ip.对任给的G由“及b的定义知道，分别存在直线网久与厲，使得»（刁）>°-彳，Spgv°+彳记T为由刁与厲这两个直线网合并的直线网，可证得Sp（7］）Jp

3、（T）,Sp（7j"（T）,（3）于是由（3）可得sP（T）>IpSp（T）

4、从而得到对直线网了有Sp（7j-》（7j<£,［充分性］对任给的£>（）,存在直线网T,使得（2）式成立.但sp（T）

5、求面积的充耍条件是:P的边界K的面积为零.证明曲定理21.1,P可求面积的充要条件是：对任给的£>0,存在直线网T,使得Sp（T）-"（"a由于Sk（T）=Sp^-sp（T）<39所以也有Sk（T）V£.由上述推论，P的边界K的面积为零.定理21.3若曲线K为曲定义在的连续函数/GO的图象，则曲线K的面积为零证明由于于⑴在闭区间be］上连续函数，从而一致连续.因而对任给的£〉o,总存在5>o,当把区间M分成斤个小区间［s，兀］（心1,•…,H）并且满足max心1,…加V5时,可使在每个小区间ki，兀］上的振幅都成立69-

6、a.现把曲线K按自变量兀=兀。，州，…,心分成刃个小段，这时每一•个小段都能被以心,为宽，©为高的小矩形甩覆盖.由于这个小矩形面积的总和为工©a<—工心,之/=1b-a/=1,所以由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零.还可证明得到：由参量方程兀二加）"二讽0（4§t§“）所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零.二、二重积分的定义及其存在性背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤,利用求柱休的休积的方法来得到结果.一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结岀下面一类积分的定义.定义设/（

7、兀』）是定义在可求面积的有界闭区域Q上的函数，用任意曲线把D分成〃个可求面积的小区域:人6，人6,……,Aq,以A

8、中f^y）称为二重积分的被积函数，兀丿称为积分变量，d称为积分区域.儿何意义:当/X>'）»o时，二重积分在儿何上表示以"心）为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积.在直角坐标系卜•用平行于坐标轴的直线网來划分区域D,则面积元素为d(y-dxdyX"dxdy直角坐标系下可表示为：i=i可积的必要条件：/（兀』）在可求面积的区域D上有界函数/&"）在可求而积的区域D上有界时，T是D的一个分割，把D分成个可求面积的小区域"，…，①，令Mi=sup/（x,y）（儿）总/&』）关于分割T的上和与下和:NNS（T卜工Mg仍心，心^定理21.4f

9、（^y）在D上可积的充要条件是：limS（T）lims（T）

10、

11、r

12、

13、->o'7=

14、

15、rpo'7定理21.5f（^y）在D上可积的充要条件是：对于任给的正数G存在D的某个分割F,使得S@）-旳）<£.定理21.6有界闭区域D上的连续函数必可积.定理21.7设/（兀丿）是定义在