阿波罗尼奥斯问题之特款解法(下)

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1、【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】※※※※※※※※阿波罗尼奥斯问题之特款解法[键入文档副标题][键入作者姓名]金占魁尺规作图系列丛书35【金占魁系列丛书】【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】※※※※※※※※阿波罗尼奥斯问题之特款解法金占魁湖北随县第一高级中学写在前面的话这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干了起来。第一系列是阿波罗尼奥斯问题，前后共四篇，先作如下简介：《解法基础》：介绍尺规作图中常见的概念，如位似中心、相似轴、根轴、根心、极线、极点、反演变换、正交圆等等，以及它们的尺规作法。同时还介绍圆退

2、化为点或线后，位似中心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。最后用CCC的“热尔岗解法”、“庞斯列—福切解法”，推广作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。《常规解答》：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的作法。可谓洋洋大观解法大全了。《特款解法》：这里特款指点线圆组合中，比较特殊的位置关系，不在《常规解答》之中，比如：两条平行线＋点或线或圆，两个同心圆+点或线或圆，这些特款在反演变换过程中，经常用到。书中还介绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特·舒特里克

3、解法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。《名家解法》：以阿波罗尼奥斯问题历史为序，介绍世界上著名数学家们的解法，重点介绍他们的解法思路或详细作法，但不介绍多解的作法，只是尊重他们当时的情况。需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出!2019年7月于随州35【金占魁系列丛书】【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】※※※※※※※※目录一、两条平行线+点或线或圆……………………………3二、同心圆+点或线或圆…

4、………………………………5三、阿基米德的“鞋匠的刀”形……………………………7四、点点圆的特款……………………………………………12五、点线圆的特款……………………………………………15六、线线圆的特款……………………………………………17七、点圆圆的特款……………………………………………20八、线圆圆的特款……………………………………………25九、三圆两两相交的切圆……………………………………26十、三圆两两外切的切圆----Soddy圆………………………29简介及说明：Apollonius问题是给定三个圆，作这三个圆的切圆。这里圆可以退化为点或线，把

5、点看作是半径为零的点圆，把线看作是半径为无穷大的线圆。Apollonius问题就退化为：给定三个元素(点线圆)的一种组合，求作这个组合的切圆。点P，线L、圆C的十种组合是：（1）PPP（2）LLL　（3）PPL（4）PLL（5）LLC（6）PPC（7）PCC（8）PLC（9）LCC（10）CCC阿波罗尼奥斯问题分了十种组合，每种组合再按所给图形位置关系和解的数目，又可分若干情况，总体数目众多，其中一些比较简单，也有的难度较大。就解的数目而言，阿波罗尼奥斯问题有无解、退化解（退化为直线或点）、唯一解、两解乃至无穷多解等可能。本文只对（5）LLC（6）PPC

6、（7）PCC（8）PLC(9）LCC（10）CCC中特殊的位置关系进行梳理，用通法作图。限于篇幅，本书不讨论、不证明，不作全部的解圆，未作出的解圆会注明作法的。　本文为了图文简洁，解答部分先作如下约定：1、红实线圆为目标解圆，红细线圆为正交圆或反演基圆。蓝绿黑实线圆为已知圆，蓝绿黑线为已知直线。细实线为重要线。2、细虚直线、细虚圆为作图过程中的示意线。3、圆的记法：⊙(ABC)---表示过A、B、C三点的圆。⊙A(R)----表示以A为圆心，R为半径的圆。示例，⊙A(R-r)--表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。⊙A(BC)---表示以A为圆心，BC

7、为半径的圆。35【金占魁系列丛书】【阿波罗尼奥斯问题之特款解法】※※※※※※※※七、点圆圆的特款例1：已知：⊙O、⊙O′相交，A在⊙O外，在⊙O′内。求作：⊙Oi，使之过A点且与⊙O、⊙O′相切。作法：(反演法)1、以A为圆心，作⊙O正交圆，该圆作为反演基圆。这时两圆的反形为：⊙O--→⊙O、⊙O′--→⊙Q2、作⊙O、⊙Q的公切线，切点分别为B、C、D、E，连结AC、AE交⊙O′于M、S。连结AB、AD交⊙O于N、T。则⊙(AMN)、⊙(AST)即是所求。作法二：(热尔岗解法)1、作A关于⊙O的根轴，交直线BC于T(根心)。2、作⊙O、⊙O′的内位似中

8、心P，外位似中心Q(无解)。作相似轴PA关于⊙O′的极点S，直线ST交⊙O′于M