阿波罗尼奥斯问题之名家解法(上)

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1、【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】※※※※※※※※阿波罗尼奥斯问题之名家解法[键入文档副标题][键入作者姓名]金占魁尺规作图系列丛书11【金占魁系列丛书】【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】※※※※※※※※阿波罗尼奥斯问题之名家解法金占魁湖北随县第一高级中学写在前面的话这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干了起来。第一系列是阿波罗尼奥斯问题，前后共四篇，先作如下简介：《解法基础》：介绍尺规作图中常见的概念，如位似中心、相似轴、根轴、根心、极线、极点、反演变换、正交圆等等，以及它们的尺规作法。同时还介绍圆

2、退化为点或线后，位似中心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。最后用CCC的“热尔岗解法”、“庞斯列—福切解法”，作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。《常规解答》：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的作法。可谓洋洋大观解法大全了。《特款解法》：这里特款指点线圆组合中，比较特殊的位置关系，不在《常规解答》之中，比如：两条平行线＋点或线或圆，两个同心圆+点或线或圆，这些特款在反演变换过程中，经常用到。书中还介绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特·舒特里克

3、解法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。《名家解法》：以阿波罗尼奥斯问题历史为序，介绍世界上著名数学家们的解法，重点介绍他们的解法思路或详细作法，但不介绍多解的作法，只是尊重他们当时的情况。需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出!2019年7月于随州圆的记法先作如下约定：⊙(ABC)---表示过A、B、C三点的圆,不指明圆心。⊙A(R)----表示以A为圆心，R为半径的圆。⊙A(R-r)--

4、表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。⊙A(BC)---表示以A为圆心，BC为半径的圆。11【金占魁系列丛书】【阿波罗尼奥斯问题之名家解法】※※※※※※※※目录一.希思的复原解法………………………………………………2二.韦达的转化解法………………………………………………4三.牛顿的解法………………………………………………………6四.热尔岗的一般解法………………………………………………7五.庞斯列—福切的解法…………………………………………10六.彼得逊的反演解法……………………………………………12七.埃普斯坦对Soddy圆的解法……………………………

5、……14正文公元前3世纪,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯在《论相切》中,提出这样的一个问题:“已给三个元素,每个元素为点、直线或圆之一种。求作一圆,过已知点(如果元素中有点的话),且与已知直线或圆相切。”阿波罗尼奥斯按已知条件将问题分成10种:点点点(PPP)、线线线(LLL)、点点线(PPL)、点线线(PLL)、点点圆(PPC)、点圆圆(PCC)、线线圆(LLC)、线圆圆(LCC)、点线圆(PLC)、圆圆圆(CCC)。欧几里得在《原本》中讨论了“PPP”、“LLL”的作法,而阿波罗尼奥斯在《论相切》中讨论了其余8种。人们通常将难度最大的第十种(CCC)称

6、为“阿波罗尼奥斯奥斯问题”。该问题从提出至今,已历两千二百余年。众多数学名家为它所吸引,韦达、笛卡儿、牛顿、热尔岗、庞斯列等一流数学家都相继给出他们的解法。一.希思的复原解法阿波罗尼奥斯本人是如何解决这个难题的呢？《论相切》原书已失传,阿波罗尼奥斯解法我们就不得而知了。英国著名数学史家希思根据帕普斯所记载的如下三命题对其作了复原:命题1.如果两圆相切,那么过切点的直线将两圆分成的两部分分别相似;图1.过切点的直线分割两圆得到的弓形分别相似命题2.三个圆的三个外位似中心、一个外位似中心和两个内位似中心分别共线,六11【金占魁系列丛书】【阿波罗尼奥斯问题之

7、名家解法】※※※※※※※※个位似中心共位于四条直线上。这四直线称为三圆的相似轴。图2.相离三圆的的四条相似轴命题3.作圆内接三角形,使其三边延长线分别经过三个共线的已知点。已知：⊙O3、直线L上三点A、B、L求作：⊙O3的内接三角形KGR,使其三边所在直线分别经过点A、B、L。作法：1、连结O3B交⊙O3于U、V两点。作⊙(UVA)交直线AB于Y。　　　2、作⊙(O3LY)交⊙O3于X、Z，直线XZ交直线AB于S。　　　3、作以O3S为直径的圆交⊙O3于K、K′。线段BK交⊙O3于R，线段AR交⊙O3于G。则△KGR即是所求。说明：K′是作另一个解圆用

8、的!图3.△KGR三边所在直线过已知共线的三点有了三个命题作基础，希思作了如下分析(如图1)：