61正弦函数和余弦函数的图像与性质

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1、6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量x、y,若对于兀在某个实数集合£＞内的每一个确定的值，按照某个对应法则/,y都有唯一确定的实数值与它对应，则y就是兀的函数，记作y=/&），XGDo（2）三角函数线设任意角Q的顶点在原点0,始边与兀轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y）,过P作兀轴的垂线，垂足为M；过点4（1,0）作单位圆的切线，设它与角G的终边（当©在第一、四象限角时）或其反向延长线（当q为第二、三象限角时）相交于7规定：当0M与兀轴同向时

2、为正值，当0M与兀轴反向时为负值；当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值；当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；根据上面规定，则0M=x,MP=yj由止弦、余弦、正切三角比的定义有:sin心丿r1y=MP；xxcosa=—=—=x=OM；r1ta^=2=MP=AT=AT；x0M0A这几条与单位圆有关的有向线段MP^OM^AT叫做角a的正弦线、余弦线、正切线。二、讲授新课【问题驱动1】一一结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对于每一个给定的角和它的正弦值（或余弦值）之间是否也存在一种

3、函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由.1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数：y=sinx,xwR；（2）余弦函数：y=cosx,xwR【问题驱动2】如何作出正弦函数y=sinx,A：w/?、余弦函数y=cosx,xeR的函数图象？2、正弦函数y=sinx,xeR的图像（1）y=sinx,xe[0,2^]的图像【方案1】一一几何描点法步骤1：等分、作正弦线一一将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；【方案2】一一五点法步骤1:列表一一列出对图象形状起关键作用的五点坐标;步骤2

4、：描点一一定出五个关键点；小结：y=sin［0,2^］的五个关键点是（0,0）.（2）y=sinx,xe/?的图像由sin（2^+x）=sinx.keZ,所以函数y=sinx在区间［2R龙,23+2龙］（展Z,kH0）上的图像与在区间［0,2龙］上的图像形状一样，只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,^G［0,2龙］的图像向左、右平行移动（每次平行移动2龙个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx,xe/?的图像。-471yy=sinx(xeR)3.余弦函数y=cosx,xeR的图像（2）y=cosx.xe/

5、?的图像图像平移法（..（兀、'I2；(1)y=cosx.xe［0,2^］的图像由sin兀+刍卜cos兀，可知只须将y=sinx,xGR的图像向左平移彳即可。y=cosx(xeR)三、例题举隅例、作岀函数y=l+sin兀，兀w［0,2龙］的大致图像；【设计意图】一一考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像【解】X07t771371T271sinx010-10y=1+sinx12101①列表②描点在直角坐标系中，描出五个关键点:（0,1）、（彳,2）、（龙,1）、③连线练习、作出函数y=--smx,xe［0,2^］的大

6、致图像v=sinx(xeR)y=cosx(xeR)1.定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R[或(一8,+8)],分别记作：y=sirusx^Ry=cosx,2.值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以丨sinxlW1,IcosjcIWI,即一lWsinxWl,—lWcosxWl也就是说，正眩函数、余眩函数的值域都是[—1,1]・其中正弦函数j=sinx,x^R①当且仅当x=—4-2kji,MZ时，取得最大值1・2②当且仅当x=--+2kn,k^Z时，取得最小值一12而余弦函数j=cosx

7、,x^R①当且仅当x=2kn,灼兀时，取得最大值1・②当且仅当x=(2k+l)ir,kWZ时，取得最小值一13.周期性由sin(x+2k兀)=sinx,cos(x+2kn)=cosx(k^Z)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地収得的。一般地，对于函数/U),如果存在一个非零常数八使得当x取定义域内的每一个值时,都有.心+T)=./U),那么函数/(兀)就叫做周期函数，非零常数卩叫做这个函数的周期。由此可知，2”，4Ji,,—2”，一4刀，2£刀伙WZ且EH0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数几X)

8、,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/(x)的最小正周期。1.奇偶性由sin(—x)=—sinx,cos(—x)=cosx可知：y=sinx为奇函数，y=cosx为偶函数・・・正弦曲线关于原点0对称,余弦曲线关于y轴对称2.单调性结合上述周期性可知：jr7T正弦函数在每一个闭区间［——+2",—+2k”