原件和系统运动方程的建立

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1、图韻熏1一2-2元件和系统运动方程的建立川解析法列写元件或系统微分方程的一般步骤是：(1)根据具体工作情况，确定各元件或系统的输入、输出变量。(2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理(或化学)定律，列写iii各元件、各部件的动态方程。⑶消去中间变量、写出元件或系统输入、输出变量之间的微分方程。(4)标准化。将与输入有关的各项移至等式右侧，与输出有关的各项移至等式左侧，并按降幕排列。最后将系数归化为具有一定物理意义的形式。下血举例说明建立微分方程的步骤和方法。【例2-1］机械振动系统(弹簧一质量一阻尼器系统)，如图2-1所示。弹簧常数为瓦,

2、质量为加，阻尼系数为/,设系统的输入量为外作用力/；.,输出量为质量块的位移母•，试写出外力fr，与质量位移母.Z间的动态方程。解根据机械系统中的基本定律——牛顿定律，则有TCdtdt①吋间常数的倒数纠=1/7,称为系统的自然频率或无阻尼自由振荡频率（或无阻尼振荡频率）。②当时，有f=14mk,这时的阻尼系数称为临界阻尼系数，常用表示；机械系统处丁•“临界状态”。若1,即时，机械系统不再具有振荡性质。而&为系数实际阻尼系数于与临界阻尼系数./；之比值，因此称为相对阻尼系数（或系统的阻尼比）。显然&不可能有量纲。dt+兀c(0=

3、—AO)k(2-2)仃2mT2=—k(2-3)将式(2-3)代入(2-2)式，得dt2dx1+2纹十+兀卫)=齐(/)dtk(2—4)式屮T具有时间量纲，称为时间常数①，g为一个无量纲参量，称为相对阻尼系数②，有时也简称为阻尼比（阻尼系数）。可见，方程（2-4）的系数已归一化成具有一定物理意义的形式。因此,常常把输出量的最低导数项的系数化为“1”的方程称为标准形式。这时方程每一项的系数均具有时间量纲，且时间量纲的幕次等于对应项导数的阶次。式（2-4）还可以表示成另一种标准形式，即将输出的最高阶导数项的系数化为“1”，并令%=卩，则有（2—他）£R0CZJ~~

4、I0.ic丄0C-rd2Xc“化2/、60nr/X矿+2现示+©〃)=〒〃)究竟采川哪一种形式，要以研究力便为原则来进行选择。【例2—2】R—L—C无源网络如图2-2所水。试求输出电丿kuc•输入电压urZ间的运动方程。解根据电路理论屮的克希荷夫定律，可写出Li=Ri+L―-+uH—[idtrdtcCJ消去上两式的屮间变量i,稍加整理，即可得图2-2R-L-C无源网络(2-5)(2—6)(2-7)d2udu假定R、L、C都是常数，则上式即为二阶常系数线性微分方程。同样，可令T2=LC,2^T=RCr=VZc,^=r4c/(i4l)(2-8)将式（2・8）代入式

5、（2-7）并整理，可得如下标准形式叭⑴I2刃"/⑴dt2dt+uc(2-9)同样若令T=l/a）n,可将上式表示为另一种标准形式几＜.(/)dt2dudt(2-9a)【2—3】试写出图2-3所示扭转弹赞系统的运动方程。图中®为外作用扭矩（输入），9c为输出角位移。解由图示可见，一个惯性矩为J的恻盘，在一根扭转弹簧（弹簧常数为k）的约束下自山运动。当转角0.朝正向增人时，弹簧缠紧，产生一个与输入力矩相反的力矩。同样，负方向的转动使帅簧放松也会产生一个和反的力矩—恢复力矩。此恢复力矩与角位移成止比。彖直线运动的系统一样，车$动系统也出现由粘阻系数引起一个与角速度成

6、正比例的阻尼力矩。根据机械系统中的基本定律——牛顿定律，则有d乜二姐dt2Jdt-kOc+mr丿竺^+f—+kOc=mrdt2dt(2-10)式中J、f、R均为常数，则上式为二阶常系数线性微分方程。将上式（2・10）写成标准形式,即0的最低阶导数项的系数化为“1”，并令T2=J/k,旳=f/k或T=Jj/k,—/（2你）将方程（2-11）代入式（2-10）,得标准形式(2-11)dt2dt_+彳=mrk(2-12)或dGc么:+叽=“dtk(2-12a)将式（2・4）、（2-9）和（2・12）进行比较可知，虽然系统的物理性质不同，但描述其运动的微分方程却有相同

7、的形式。因此它们具有相同的运动特性，从研究运动的角度出发，它们并没有本质区别。可见，用微分方程来研究系统的运动是具有普遍意义的。另外，微分方程描述了输入和输出在运动状态卜一的关系。如果系统已述入稳态，即输入、输出都不再变化，那么它们的各阶导数都应为零，则方程（2-4）、（2-9）和（2-12）就分别为Xc=fr/k叫=Ur0c=mJk并把它们称为稳态方程（或静态模型），稳态方程是动态方程的特殊形式。通常把稳态下输出与输入Z比称为放大系数，或增益。【例2—4】他激直流电动机如图24所示，电机输入电压为“，激磁电流为常值。试求电机输入电压《与输出量（转子的角速度0

8、）之间的关系电动机是由电气元件和机械元