38函数的最大年夜值与最小值2

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1、函数的最大值与最小值（2）【课题】函数的最人值与最小值（2）【教学冃标】1.进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2.初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.【教学重点】解有关两数最人值、最小值的实际问题.【教学难点】解有关函数最人值、最小值的实际问题.【教学过程】一、复习引入：1•极人值：一般地，设函数.心）在点勺附近有定义，如果对心附近的所有的点，都有ywv/g））,就说、/Uo）是函数/（x）的一个极人值，记作丁极大值才do），xo是极人值点.2.极小值：一般地，设函数7U）在勺附近有定义，如果对忌附近的所有的点，都冇/（A-）＞/（%（））.就说/（却）

2、是函数/⑴的一个极小值，记作y极小值=心）），兀0是极小值点.3.极人值与极小值统称为极值.4.判别几切）是极大、极小值的方法：若兀°满足广（xo）=O,且在兀。的两侧/⑴的导数异号，则勺是/（兀）的极值点,/（兀°）是极值,并且如果广⑴在心两侧满足“左正右负”，则兀。是门兀）的极大值点,/（x0）是极大值;如果fx）在兀。两侧满足“左负右正”，则%是/W的极小值点,/（x0）是极小值.5.求可导函数/U）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f（x）；（2）求方程f（兀）=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成

3、表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么几X)在这个根处収得极大值;如果左负右正，那么/U)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么几r)在这个根处无极值.2.函数的最大值和最小值：在闭区间卜力］上连续的函数/(%)在［d,b］上必有最大值与最小值.(1)在开区间⑺上)内连续的函数/(兀)不一定有最大值与戢小值.(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数/(x)在闭区间［a,b］上连续，是.f(x)在闭区间［a,b］上有最人值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函

4、数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.3.利用导数求函数的最值步骤:⑴求/(力在@上)内的极值；⑵将/⑴的各极值与/⑺)、比较得出函数/(%)在［o,b］上的最值.二、讲解范例：例1在边长为60cm的正方形铁片的四如切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱了，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为“加，则箱高得箱子容积2£()丫2—丫3V(x)=x2h=——(0

5、，兀二40,并求得V(40)二160002由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时•，箱了容积很小，因此,16000是最大值.答：当x=40cm时，箱子容积最人，最人容积是16000c7n3解法二：设箱髙为xcm,则箱底长为(60-2%)cm，则得箱子容积V(x)=(60-2x)2x(0-1V(x)=(60-2x)2x在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，

6、是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.例2闘柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所川的材料最省？解:设圆柱的高为力,底半径为R,则表面积S=2nR//+2兀R2由V=nR2ft,V得力=—，贝I」7lR2V2VS(R)==23/—即h=2R2兀R+2nR=十2nRttR2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值.答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.变式：当圆柱形金加饮料罐的表面积为定值sot,它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？C*_Q提示：S=27iRh+2欣2=>/?二2加？°=>卩(Q二S_2

7、冰兀r?丄(S-2ttR2)R=丄SR-叔2ttR22V,(/?))=0=>S=6^?2=>6冰$=2俪+2恭=>h=2R・例3已知某商品生产成木C与产量q的函数关系式为U100+4q,价格p与产量q的函数关系式为p=25--q.求产最q为何值时，利润力最人？8分析：利润2等于收入斤减去成木G而收入斤等于产量乘价格.由此可得出利润厶与产量g的函数关系式，再用导数求最大利润.(］A］解：收入R=q•p=q25——q=25q——q2,8J8(A1利润厶=R-C=25q__q2_(100+4g)=__『+2切-100(OvgvlOO)I8丿8r=--^+21,令厶'

8、=0,即—