函数的最大值与最小值(2)

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1、2007郑州一中《导数》教案§3．8函数的最大值与最小值（2）【课　　题】函数的最大值与最小值（2）【教学目标】1．进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2．初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学重点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学难点】解有关函数最大值、最小值的实际问题．【教学过程】一、复习引入：1．极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点．2．极小值

2、：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．4．判别f(x0)是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值．5．求可导函数f(x)的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′(x)；（2）求方程f′(x)=0的根

3、；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值．6．函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．（1）在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．（2）第15课时课题：3．8函数的最大值与最小值（2）第5页（共5页）2007郑州一中《导数》教案函数的最值是比较整个定义

4、域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．7．利用导数求函数的最值步骤：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值．二、讲解范例：例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为xcm

5、，则箱高cm，得箱子容积．令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值．答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积．（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、第15课时课题：3．8函数的最大值与最小值（2）第5页（共5页）2007郑州一中《导数》教案在各自的定

6、义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+4πR=0解得，R=，从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选

7、取，才能使所用材料最省？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0．例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入，第15课时课题：3．8函数的最大值与最小值（2）第5页（共5页）2007郑州一中《导数》教案利润，令，即，求得唯一的极值点．答：产量为84时，利润L最大．三、课堂练习：1．函数y=2x3－3x2－12x+5在

8、［0，3］上的最小值是___________．2．函数f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值为_____；最小值为_______．3．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___．4．使内接椭圆=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____．5．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时