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1、含有阻尼项的弦振动方程及其仿真内容提要：本文通过对古典吉他的琴弦振动情况建立数学物理方程，得到一个含有阻尼项的双曲型方程的初边值问题，对解用Matlab进行仿真。最后依据弦振动方程的结果，列举了在这种情况下几种泛音的位置，并结合该方程，对右手给出指导。关键词数学物理方程，Matlab,驻波。引言：在弦乐器表演屮常用到泛音这样的一个技巧，即左手虚按琴弦，滤掉一部分波在琴弦上形成驻波。比如在弦的三分点进行滤波，则波长的三倍不能被弦长整除的波，将会被滤掉。但是在拨弦乐器的教学中，关于泛音的位置一直是老师们口口相传。而月•某些泛音准确位置并不在拨弦乐器的站（山口）上，所以
2、缺乏理论指导。在国内的研究领域屮，韩佩琪《弦乐器泛音的分析及应用》一文屮只是对弹拨乐器的空弦状态下进行求解而且忽略了空气的阻力，而且并没有结合列出的解给出演奏技巧上的指导。而邱桂明《阻尼作川卜•的弦振动研究》的初边值条件并不符合乐器的条件。另外在周伟《古典吉他演奏教程》以及相关的-•些吉他教学视频中只是提及了左手虚按的位置，关于右手的位置没有给出一个指导。综上来看，国内研究领域，对定弦振动泛音的理论研究尚处于一个盲区。然血一维双曲型微分方程的理论已经比较完善给本文提供了理论依据，给硏究带来了可行性。一、模型建立:bFig_2」如图所示：琴弦的初始状态:其小〃是弹拨
3、弦与初始位置间的距离，"是弹拨点距离原点的距离，/表示弦的长度。弦的两端是静止不动的，从而边值条件：为W(O,t)=W(/,t)=O其中t表示振动吋间。列出方程：其中：错误！未找到引用源。，而T表示琴眩松弛时的张力，错误！未找到引用源。表示琴眩线密度。边值条件：u(Ort)=u(Ct)=0初值条件：lt=o=0,°v二、问题的求解从物理上知道，一个复朵的振动往往可以分解成许多简单的振动的叠加。如弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音叠加。相应于每种单音，弦振动时波形保持不变，从而当时间变化是个点的振幅做同步的变化，所以可以冇如下形式：带入到原方程会得到：分
4、离变量：等式左右两边相等，左边仅是t的函数，右边仅是X的函数，左右两边要相等，只冇等于同一个常数才可能。设此常数为错误！未找到引用源。。则得到两个常微分方程。矿©+為钿;厂®十巩：得到以下通解：f(x)=Cl*sin(^A$洱)+C2wg(r)=ca*庐為司+C4*声因为阻尼系数很小，所以—4*a2>*(、注*/*入一“2f)+(73他&4***入一接下来带入初边值条件“(0,0=f(0)g(得：C讥心/W得：/(%)=弼俘尤)我=在代入:=(-(C3cosQ+C4stn0)+^4*«2*A-p2(C4cos0一C3=f(x)(—耳C3+V4*«2*A-显然错误！
5、未找到引用源。所以错误！未找到引用源。再代入：用正弦级数來求:W-1｝小‘—6^=1=仙(竽)-kbrccos(判儲-hlsinI+IcosAsr一krrcos(@-i)k2TC2旺3」2l4*G**点AA知£版字函加(*“齐住f-护寸+4加(卜宀(常从解的表达式來看，和式的结果应当有界，而外面的指数函数可以使得波的振幅逐渐减小，与含有阻尼的弹簧震动相类似。其中每一个单音的波长和与之对应的频率，分别为％1/2错误！未找到引用源。三、仿真模拟由于求和结果不是慕本初等函数，我们将用MATLAB采取级数的部分和来模拟.在这一部分，我们统一设弦长1二0.64m,拨弦位置b
6、二0.55m,弦的张力T二24.5N,弦的线密度().()()5kg/m3.首先模拟基音：既k=1,2,34,5Fig_5_l(注：Fig_5_l中左图,[0,0.64]轴代表弦长,[0,0.03]轴代表时间，而纵轴在弦上一点,随时间的前进的位移.由图中选取的是距离左端点0.55处，即拨弦处的样本，而琴真正的发音是通过共鸣箱传出来的声音，所以右图不是声音真正的波形，但在表示频率方面具冇代表性。)以下我们将结合方程的解來研究泛音的性质。2分点泛音就是滤掉在1/2处没有波节的音：即“2,4,6,8,10其不动点为0.32m处，即吉他屮的第12品位置，可以看岀在诸多的泛
7、音屮，屮点处的泛音是最稳定的，在实践中也会发现12胡处的泛音效來最为明显最为动听。0005•02Fig_5_23分点泛音：k二3,6,9,12,15其不动点位置有两个,x=0.2133m,x=0.4267m即吉他第七品与第八品之间的位置。和18与19品之间。既然二者效果和同，対于古典吉他的初学者來说可以用7品代替19品处的泛音，即可达到需耍的效果。x1aO0054分点泛音:k=48121620333.33Hz而另一个地方则由于吉其不动点位呂也有两个x=0.l6m,他指板的限制而没冇品。x=0.48m恰好在第4品处,Fig_5_35分点泛音：k=5101520251
8、54品，9
