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1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2012.01题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案ADBDCABD一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二•填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(12)乙，乙(9)5(10)7(11)-4(13)和+1)(14)8;-3注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分;（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三•解答题：本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（I）因为A=2B,所以cosA
2、=cos2B=1-2sin2B.因为sin呜所以cosA=1-2?-33入兀由题意可知，Bl(0-).2所以cosB=vl-sin2B=a/63因为sinA=sin23二2sinjBcosS=.3所以sinC=sin[n-(4+B)]=sin(A+B)=sinAcoscosAsin10分(II)因为b=a,b=2,sinBsinA所以所以Sgc=—dbsinC=20V2911分•13分（16）（本小题满分13分）解：（I）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件人，则P（心竽哈所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为滸（II）随机变量X的可能取值为0,
3、1,2,3.p(X=2)=P（X=3）3x2x3!_3—5!—"10?2x2!x3x2!_15!_52x3!_15!~To'10分随机变量X的分布列为:X0123P23117105102311io=b因为EX=0x-+lx—+2x-+3x13分5105所以随机变量X的数学期望为1.（17）（本小题满分14分）（I）证明：因为2ABC90?,所以AB丄BC.因为平面PBC'平面4BCD,平面PBC平面ABCD=BC,ABI平面ABCD,所以ABA平面PBC.3分（II）解：取BC的中点0,连接P0.因为PC,所以PO-LBC.因为平面PBC'平面ABCD
4、,平面PBC平面ABCD二BC,P01平面PBC,所以P0A平面ABCD.4分如图，以0为原点，03所在的直线为兀轴，在平面ABCD内过0垂直于BC的直线为y轴，0P所在的直线为z轴建立空间直角坐标系O-厂送.不妨设BC=2.由直角梯形ABCD中PB=PC=BC=2CD可得P(0,0,J§),P(-1,1,0),所以DP=(1,-1,73),DA=(2,1,0).A(l,2,0).设平面PAD的法向量m=(x,y,z).hn?DP0,因为Im?DA0.所以j(x,y,z)?(l,l,V3)=0,id,”z)?(2」,0)0,即卜.y+辰=0,j2x4
5、-y=0.令x=1,则y=-2,z=-y/i・所以zn=(1,-2,・^3).取平面BCP的一个法向量w=（0,1,0）.mn>/2T所以平面ADP和平面BCP所成的二面角（小于90。）的大小为工・49分PM1（III）解：在棱PB上存在点M使得CM〃平面PAD,此时——二一•理由如PB2取AB的屮点N,连接CM,CN,MN.则MN//PA,AN=丄AB.2因为AB=2CD,所以AN=CD.因为AB//CDf所以四边形ANCD是平行四边形.所以CN//AD.因为MNCN=N,PAAD=A,所以平面MNC〃平面PAD.13分因为CMI平面MVC,所以CM
6、〃平面PAD.14分(18)(本小题满分13分)解：(I)由/(x)=ev(x2+ax-d)可得/*(x)=ex[x2+(a+2)x]・2分当时，/(l)=e,/,(l)=4e.4分所以曲线歹=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程为y-e=4e(x-l),即y-4ex-3e.5分(II)令fx)=ev(x2+(d+2)x)=0,解得x=-(a+2)或x=0.6分当一（6z+2）<0,即aA-2时,在区间［0,+oo）上,/fW>0,所以/（兀）是［0,+oo）上的增函数.所以方程/（X）=k在［0,+OO）上不可能有两个不相等的实数根.8分当一（°+
7、2）>0,即f/<-2时，广（力,/（兀）随兀的变化情况如下表X0(0,-(67+2))—(°+2)(—(a+2),+8)fx)0■0+/(%)-aa+4e"+27由上表可知函数f(x)在［0,+00)上的最小值为fZ+2))=10分因为函数/(Q是(0,-(a+2))上的减函数，是(-(0+2)，乜)上的增函数,11分且当兀一。时，有f{x)>e"(一。)>-a.所以要使方程/(x)=k在［0,+oo)上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是13分(19)(本小题满分13分)22解:(I)设椭圆C的标准方程为刍+与二1(。〉方〉0),且a2=b
8、2+c2.crtr由题意可知：b=1c_a/3■■2所以a2=4.所以,0椭圆c的标准方程为才
