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《基于双阶样条的代数双曲B样条升阶及割角算法-计算机学报》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、基于双阶样条的代数双曲B样条升阶及割角算法张波汪国昭（浙江大学数学系计算机图象图形研究所杭州310027）摘要本文考虑代数双曲B样条曲线的升阶问题，从理论上证明了曲线的升阶可以理解为控制顶点的割角过程.为了实现代数双曲B样条曲线的升阶，本文构造了一组基函数：双阶代数双曲B样条基函数，这组基函数并不具有统一的阶数，而具有“双阶”性质.代数双曲B样条基函数与双阶样条基函数Z间的变换公式可以导出曲线升阶的割角算法.关键词双阶样条；代数双曲B样条曲线；升阶；割角算法B样条曲线在计算机辅助几何设计(CAGD)中占有十分重要的地位，但它也存在一些缺陷，例如B样条曲线不能精确农
2、示在CAD/CAM中广泛应用的圆锥曲线.为了克服这一局限，很多文献提出许多模型，例如Wang和Chen在文献[1]中以｛l,z,...,f,_3,sinr,cosr｝为基构造非均匀代数三角(NUAT)B样条曲线，可以精确表示I员I锥螺线和摆线.Li和Wang在文献⑶屮以｛lj,...,r-3,sinhr,coshz｝为基构造代数双曲B样条(AHB-basis)曲线，能够箱确表示一类重要的曲线，例如悬链线与双曲线等.样条曲线的升阶在儿何造型中是十分重要的，Bezier曲线的升阶可以理解为控制顶点的割角过程，对于B样条曲线，也有很多文献提出相关算法(例如文献⑷⑸[6]
3、[7][8][9][10]).这些算法也可运用到代数双HUB样条曲线，但这些升阶算法不能理解为割角算法.本文考虑代数双曲B样条曲线的升阶问题.不同于以往的升阶算法，本文通过构造一类新的样条基函数：双阶代数双曲B样条基，来实现代数双曲B样条曲线的升阶.rti这组新基可以构造一类新的参数曲线:双阶代数双曲B样条曲线.这类参数曲线有如下特点:曲线rh两段阶数不同的代数双曲b样条曲线组成，前段曲线的阶数比后段曲线高一阶.通过寻求样条基函数的相互关系，实现了代数双曲B样条曲线的升阶.2代数双曲B样条曲线及其升阶问题2.1代数双曲B样条曲线的定义设T是给定的节点向量『：｛—•
4、｝二“S/中，i=0,±l,±2…，则空间Fk=span｛l,^...,rA_3,sinhr,coshr｝中由下列递推方式所定义的函数N.k(0称为相应于节点向量T的k阶sinh(r-耳)/sinh(r/+1-r,),3其中厶北=匚N/)dr,并且规定0/0=0.当T为均匀节点向量时，可以得到文献⑵中定义的均匀双曲多项式B样条基函数.文献[3]证明了代数双曲B样条慕函数冇类似于B样条基函数的性质，如局部支撑性、归一性、正性、线性无关性等，并进一
5、步证明了代数双曲B样条基是B基.定义R阶代数双曲B样条曲线P⑴=E-ioNJW,te[心，⑺]皿以-1.代数双曲B样条曲线有类似于B样条曲线的性质，如凸包性、儿何不变性、局部调整性、连续阶性质、变差缩减性等.2.2代数双曲B样条曲线的升阶问题考虑R阶代数双曲B样条曲线P3=工;叽吋,We[你-,%+J,其中Pj是控制顶点，心(u)(，=0,1,...,/n)为定义于节点向量U=｛知,“2,…，如+｝上的代数双曲B样条基函数.为了下文叙述方便，将节点向量改写为T=｛/],•••」],•••』*•••/”｝,其中“(212…/)表示_V~V'叫表示节点4的重数,并且规
6、定加
7、=mn=k.与B样条曲线类似，k阶代数双曲B样条曲线是在空间E=5/?6zn｛l,r,...,rA_3,sinhr,coshr｝中构造的曲线，它完全可以在空间rA+1=span｛.t.....tk~2,sinht,cosht]中精确表示,即Tj川］+1加j+1…心+1,…心…儿}是增'v'''改写节点向量厂丿〃仃+1sinh（r-r/）sinh（t舊-”）仁心，0
8、B样条II1J线的升阶过程可归结为节点向量亍和新控制顶点£的求解过程.曲线P(f)是P(/)在高维空间的一个嵌入，两曲线的几何形状与参数完全札(同，H曲线P⑴与P(f)有相同的连续性，由曲线在节点处的连续阶性质得到新节点向量亍应具有以下形式：T=仏,切・曲线的升阶问题进而转化为sV'xV'加］+1®+l新控制顶点A的求解问题.一个直观的升阶方法是将升阶问题转化为线性方程组的求解，设工二心/),£。弘卫比，计算g(r)和Nu⑴在适当的用+1个值处的函数值，可以得到用+1个关于控制顶点£的线性方程，求解此线性方程组便可以得到新控制顶点的表达式.另外一种方法可以仿照文献
9、［8］得出
