对数函数幂函数运算与图像性质

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1、对数函数的运算、性质以及幕函数图像性质一、对数函数的运算1、对数的定义：如果ax=N(6Z>0,aHl)那么数兀叫做以a为底N的对数。记^:x=ogaN,其中io叫做对数的底数，2叫做真数，x=ogaN叫做对数式.常用对数：loggN^lgN自然对数：logeN=lnN2、指数式和对数式的联系：指数对数ax=Nolog“N=x(aX)且aH1)3、对数的运算性质如果a>0,a^l,M>0,N>0有：Mlog“MN=log。M+log“N;log“—=log"M-log“Nlog“Mn=“log“A/(he

2、/?)语言表达：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍给出四个等式：1)lg(lg10)=0;2)lg(lne)=0;3)若lgx=10,贝iJx=10;4)若lnx=2,WJx=e24、对数换底公式log“TV"(a>0,a1,m>0,ml,N>0)两个推论:设a,b>0且均不为1,则n1)log^log^=l；2)二、对数函数图像与性质K对数函数1二>0且a工1）的图象与性质a>100）

3、都经过点（1,0）,：log1=0.从左向右看，图象上升从左向右看，图象下降①定义域：（0,+8）②值域：（―°°,十8）③奇偶性:在定义域内为非奇非偶函数函数性质④单调性在（0,+°°）上是增函数在（0,+°°）上是减函数当x>1时,logx>0,当0<兀<1时，Io%x<0・CI当x>1时Jog,zx<0,当00.当底数a与真数x同时大于1或同时大于0且小于1时，对数值10场工大于0,当底数a与真数x其中一个大于4,而另一大于0小于4,对数值logaX小于0三、幕函数图像及性质1・幕函数的定义

4、形如y=x*的函数叫做幕函数，其中a是常数且aeR2•幕函数的定义域:是使xa有意义的实数的集合。随a的不同而不同幕函数与指数函数的对比式子名称a（常数）X（自变量）Y（函数值）指数函数:y二ax底数指数幕值幕函数:y=xa指数底数幕值判断一个函数是幕函数还是指数函数切入点看看未知数X是指数还是底数幕函数尸兀，尸兀2,y=x^9y=J2,尸兀-1的图象:函数性质y=x2y=x3y=x1y=x2y=xl定义域RRR[0,+8){x

5、xH0}值域R[0,+8)R[0,+8){ylyHO}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调

6、性增[0,+8)增增增(0,+8)减(・8,0]减(•8,°)减公共点(1,1)考点1对数函数的运算例题1己知0<。<1,方〉1,ah>f则下列不等式成立的是()A.log,

7、<10gfl

8、<10g“bbbbb变式训练1已知f(x)=

9、log^xl，其中0VGVl,则下列不等式成立的是()A./(^)>/(2)>/(I)B./(2)〉/(*)〉/(”C./(

10、)>/(I)>/(2)D./

11、(I)>/(2)>冷)例题2已知lg2=a,lg7=b,那么log898=21例题3设3x=4y=36,求｛+〒的值.变式训练3若lg2=a,lg3=b,则卷II等于拓展训练1已知Ina+lnb=21n(a—2b),求log2^的值.变式训练4设3"=4v=6z=r>l,贝IJ丄-丄与丄的大小关系为zx2yzx2yzx2yC.丄—丄〉丄D・丄一丄与丄的大小关系不确定zx2yzx2y考点2对数函数的性质对数函数的概念、图象和性质，设计对数型函数的定义域、值域、单调性等问题。例题4、已知函数/（x）=log“（x

12、+1）,g（x）=log“（1-x）（a>0且a工1）,（1）求函数/（兀）+g（兀）的定义域；（2）判断/⑴+g（兀）的奇偶性,并说明理由；（3）探究/（尢）+巩兀）在其定义域内的单调性。例题5・求下列函数的定义域、值域和单调区间:ax_1(l)y=——(q>0,qh1)；(2)y=og(l(x2-5x+6)(g>0且gh1).1例题6若y=-log2（x2-or-6z）在区间（yo,1->/5）上是增函数，贝h的取值范围是变式训练5、已知函数/U）=log4（2x+3-x2）,（1）求/（兀）的定义域;

13、（2）求/（兀）的单调区间;（3）求/（劝的最大值，并求取得最大值时的兀的值。变式训练6已知log。7（2加）