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1、巧求三角函数值山东房延华在解决“求锐角三角函数值”问题时，常常通过三角形中位线定理、平行线、全等等知识作为中间量来进行某种转化，以促成实现解题的顺利进行.一、勾股定理助阵锐角三角函数的求值例1如图1,A(0,1),B(4,3),则tanZABO=・分析：欲求tanZABO的值，需将ZABO置入直角三角形中，AC故考虑过A作AC丄OB,则tanZABO=——，问题转化为求BCAC.BC的长.解：过A作4C丄OB,垂足为C.VA(0,1),B(4,3),：.OA=ltBD=3,OD=4.在RtAOBD中，OB=>/42+32=5.114•・£阿=一X5X4C=-X1
2、X4,:,AC=-.225./43322在RtAAOC中，OC=SF==?ABC^B-0C=5-?=y•4亠亠ACs2・••在RtAABC中，tanZABO=——=糸=—BC2211T二、平行线的性质助阵锐角三角函数的求值DMC例2如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1,则ianZADN=.分析:考虑ZADN和ZDNC是同位角，因此通过求ZDNC的正切值来达到目的.解：・.・DM=1,£)C=4,・・・CM=3.•:M、N两点关于对角线AC对称，:・CN=CM=3.・.・AD〃BC,AZAND=ZDNC.:.t
3、anZADN=tanZDNC=一.3E图3三、相似三角形助阵锐角三角函数的求值AH例3如图3,在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、Q都在这些小正方形的顶点上，AB、CQ相交于点P,则tanZAPD的值是.分析：连接BE,则BE丄CD,故欲求ZAPD的正切值，可转化为求ZFPB的正切值.解：连接BE,则BE丄CD.设小正方形的边长为1,由勾股定理易求得CD=3E=・・・BF=DF=FC=由厶BDBs厶BHA,得型=型■=[,AGD=~.BHAH33rflAPGD^APBC,得竺=—=-AHPC3..PD--PC,:.PD=-DC=—.44df-pd=至
4、-至二至.244*亠FB三在RtABPF中，tanZFFB=——=*FPV2四、全等三角形助阵锐角三角函数的求值例4如图4,正方形ABCD的边长为2错误!未找到引用源。，过点A作AE1AC,AE=1,连接BE,RiJtanE=.分析：直接求取较难，考虑延MCA至E,使AE=AEr=,再连接BQ交AC于0,易判定△AEB空“AE'B,从而ZE=ZE,将问题转化为求tanAF.解：延长C4至使AE=AE,=U再连接BD交AC于O.由正方形性质，易得0B=0A=2错误味找到引用源。sinX45°=2,ZDAC=ZBAC=45°fXAE丄AC,AZEAD=45°,・・
5、・ZEAB=ZE'AB=135。.,：AE=AEAB=AB,・*.・・.ZE=ZE.7,OB22又0E,=AE,+0A=3f在RtACDO中，tanE=——=一，・tanE=-.OE'33例5如图5,已知直线lA//l2//l3//l4f相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sina=.分析：过点D作DE±/i于点E,则DE=1.欲求sina,尚需知道一边AE或AD.考虑过点4作AF丄厶于点F，则AF=2,猜想AF=AE,通过判定厶ABF^/^ADE实现等线段的转化，进而可求sina.解：过点D作DE丄厶于点E,过点
6、4作AF丄勺于点F，则DE=l,图5AF=2.易判定△ABF^/ADE,:.AF=AE=2.RtAADE中，AD=JAE?+DE?=戕+F=卡.•:sina=DE五、三角形中位线定理助阵锐角三角函数的求值例6如图6,在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,贝ijtanC等于（）A.—B.—C.—De—4355分析：条件EF=2,BC=5,CD=3较为分散，应将这些元素转移到同一三角形中，故考虑连接BD.易知EF为为的中位线，故可将的长，不难判定△BDC为直角三角形，从而问题得解.解：连接BD,TE、F分别是AB、AD的
7、屮点,・・.BD=2EF=4.VBD2+CD2=42+32=52=BC2,:.HBDC是直角三角形，且ZBDC=90°.4tanC=—,应选B.3
