对数在物理中的应用

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1、1对数在物理中的应用物理学是一门精确的科学，与数学有着密切的关系。在应用物理知识解决实际问题时，一般来说都要涉及数学运算、数学推理，处理的问题愈复杂，应用的数学知识一般也愈高深。物理学中运用的数学方法最常见的有比例法、方程（组）法、数列法、函数法、几何（图形辅助）法、图象法等。有一类物理情景为周期性的多过程问题，涉及的相关物理量间关系的递推式为指数或密函数，这类问题的求解一般来说必须借助对数知识。还有，一些物理实验的结果处理或误差分析也常常要利用对数知识。1•应用对数知识求解指数方程有些问题的相关物理量间成指数函数或密函数，例如a—扩

2、或“一扩，其中a、b为常数，x为未知，为求解X则必须取对数。〔例1）在原子反应堆中，用石墨（碳）作减速剂使中子减速。已知碳核的质量是中子的12倍，假设中子与碳核的碰撞是弹性正碰，而且碰前的碳核都是静止的。设碰撞前中子的动能为E0,问至少经过多少次碰撞，中子的动能才能小于10—”E0（1913=l・114,1911=1.041）?解析:设中子的质量为m,碳核的质量为Mo碰撞前中子的速度为vO,碰撞后中子的速度为v,碳核的速度为V。根据动量守恒和机械能守恒m跳一mv+MVl•ymv2+A4V2碰撞一次•中子动能损失:AE=*—mif=*加

3、48169经过一次碰撞，中子剩余的动能:E=ym^=y7n^(

4、

5、)2=(

6、

7、)2E^艮=+加区=寺弼(

8、

9、)2=(

10、

11、)2Ei=(y

12、)2X2E0经兀次碰撞后冲子剩余的动能：E=*诚=(

13、

14、严&令£=10-£,即有：(13)ZX"=1°$上式为关于碰撞次数n的指数方程，取对数得：2n(lgll-lgl3)=-6解得:门一41」所以至少要碰撞42次，10—6E0。屮子的动能才小于［例2)容积为V0—SL的容器内盛有理想气体。若用最大容积为AV—。的活塞式抽气筒抽气，在温度保持不变的情况下抽气多少次，容器内剩余气体质量是原來的一半?(1

15、92一0.3010,195=0.6989,195.1=0.7075)解析:设容器中原有气体的质量为俩，压强P0,抽气一次，整个气体分成VO、zv两部分，压强由P0变到PI,以容器屮原有的气体为研究对彖，由玻意耳定律PoV0一P,(V0+AV)解得：自“0十从»"第二次抽气，Pn-iVo=pn(V0+AV),pn=(^—j—^)Bpo根据克拉珀龙方程盹=斡:瓷琵=(屛討将哑=寺及讥=5L、W=0・1L代入上式可得(¥)”=2取对数得:n(lg5.1-Ig5)=lg2解得皿=352•应用对数知识进行非线性变换物理学中经常会遇到非线性函数

16、关系，通过适当的坐标变换就冇可能改为线性关系，其中，通过取对数的方法就是常用的一种实现非线性到线性变换的手段。例如①y~a犷，其中a、b为常数，物理量y是物理量x的密函数，在y一x处标系中两数图象为1111线，当我们对①取对数后可得:lgy—bl岁十lga＞这样lgy为lgx的线性函数,在lgy—lgx坐标系下,图象为一直线，其斜率为b,纵截距为lga;又如②y~abx,其屮a、b为常数，物理量y是物理量x的指数函数,在y一x坐标系中函数图象为曲线,当我们对②取对数后可得：lgy-(lgb)x十lga,这样lgy为x的线性函数，在lg

17、y—x坐标系下，图彖为一直线，具斜率为lgb,纵截距为lga。［例3)A阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是19(TfTo),纵轴是19(R/Ro);这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，儿和R。分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是()解析:行星绕太阳作匀速圆周运动，由太阳施加的万有引力提供向心「（2兀x2惬zh丿J,根据万有引力定律和牛顿第二定律有戸一"亍1K£=浮=常数（即开普勒第三定律儿所以有頑）'=

18、（尹,取对数得:3lg（書）=21g（占），或者写成=Ko1o八0°1o显然〉图彖Ko10为通过坐标原点的直线，其斜率为2/3.因此，本题正确选项为B。「例4］在“利用单摆测重力加速度”的实验中:多次改变摆长使单摆做小角度摆动，测量摆长L及相应的周期T。然后，分别取L和丁的对数，所得到的IgT一IgL图象为_（填“直线”、“对数曲线”或“指数曲线”）;读得图线与纵轴交点的纵坐标为。，由此得到该地的重力加速度g=解析:根据单摆作小角度摆动周期公式T=27t取对数得：lgT=*lgL+lg名，式中x和g为常数，故IgT-IgL图线为直线，

19、其纵截距为c=lg笋解得叨=第。3•应用对数知识进行大尺度问题的压缩我们知道，噪声的强度用分贝作单位，而声强的单位处理中就是典型的大尺度问题的压缩。人类能听到的声强范围很广。例如，刚好能听见的IOOOHz声音的声强约lO