对估计水塔流量的探究

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1、对估计水塔流量的探究摘要本文是一个关于投资收益和风险权衡规划问题的解答，问题中给岀四种（或多种）投资方案供投资者选择，每种方案都有相应的收益率和风险率，我们的目的是关键字:一.问题重述某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量.通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.水塔是一个高12.2m,直径17.4m的正圆柱.按照设计，水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升到约10.8

2、m时水泵停止工作.表1是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻(包括水泵正供水时)从水塔流出的水流量，及一天的总用水量.时刻(h)水位(cm)00.921.842.953.874.985.907.017.938.97968948931913898881869852839822时刻(h)水位(cm)9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93////108210501021994965941918892时刻(h)水位(cm)19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.9

3、1866843822////105910351018表1水位测量记录(符号〃表示水泵启动)一.模型的假设1)假设储水器的空气压力强稳定；2)假设题目涉及的水泵功率恒定；3)假设一天中温度不变或者影响不大；4)居民的用水量没有突变点。二.符号说明表1未完善符云1符号说明赤纬角0方位角e太阳高度角太阳时角（地球每个小时自转15°称之为时角）W地理纬度J经度L影长D日期H杆子高度1某点的地方时间L杆影长度一.模型的建立与求解4.1问题一4.1.1问题1分析题目要求描建立每个时刻水塔流出用水流量变化的数学模型，分析水箱水位关于各个时刻的变化规律。首先通过查阅

4、相关数学建模文献，找寻建模中可能遇到的概念、方法，再挖掘建立模型相关的方法，为之后的建模奠定坚实的基础。模型建立第一步，理清自变量（吋间），因变量（流量）。先预处理数据，将水位转化为水流量，再处理流量一时间散点图，分段多项式拟合构造对应函数，使之符合题意，同时根据相应的标准进行统计、分析和构建相关的数学模型。4.1・2数据的预处理将数据导进MATLAB屮并将水塔水位转化为水塔屮体积，公式如下Yd?、L=兀—•H；①（4丿得出的体积与时间关系如下表二未完善时刻(h)00.921.842.953.874.985.907.017.938.97体积(cm)时

5、刻(h)9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93体积(cm)时刻(h)19.0519.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91体积cm)4.1・2模型1的建立通过对题目的探讨，我们先利用MATLAB作出水体积与时间的散点图。体积一时间散点图°o2468101214161820时间/h2426282.5体枳一时间曲线25151.O.图一我们发现，图中散点可以分为五个阶段：未供水第一段，供水第一段，未供水第二阶段，供水第二阶段，未供水第三阶段。由于供水阶段没有数据，所以先根

6、据未供水段的散点图，利用插值拟合出未供水段的体积关于时间函数方程f(X)O根据流体力学知识可得流量是指单位时间内流经封闭管道或明渠有效截面的流体量，既是Q=S・V=学；②At其中Q是流量，S为截而而积,v为水流速度，L为体积，t为时间;Q=lim—ioAt根据以上的方程式可以知道，先要拟合岀流量一时间方程，再对方程求一次微分（导数），就可以得出流量一时间方程。4.1.3步骤一：拟合方式的选择由于供水阶段没有数据，所以先根据未供水段的散点图，利用插值拟合出未供水段的函数方程。我们优先选择多项式拟合的方式，下面对多项式原理进行建模分析：假设给定数据点（吗

7、，”）（匸0,1,…,m）,①为所有次数不超过旳訥的多项M式构成的函数类，现求一=&①，使得"乞也（吗）一”]2=乞2＞丘彳_”=min2-02-0V-0丿；④当拟合函数为多项式吋，称为多项式拟合，满足式（1）的去川力称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n二1时，称为线性拟合或直线拟合。显然M»/=另（另丑垃-”）22-0JWI.⑤为如®，…比的多元函数，因此上述问题即为求"心旳…比）的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得^7«»=22(S^i-y^t=o,gj2-0JUOj=0」，…卫•⑥即»MMDi-0i』j=0,1,・・・,七■⑦（3）是关于

8、如®，…比的线性方程组，用矩阵表示为M…zxT-M2-0idi-0OBOB•Ft…ki』■■2-0■■2-0