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1、第五章静电场习题5・9若电荷均匀地分布在长为厶的细棒上，求证：(1)在棒的延长线，且离棒屮心为r处的电场强度为E=-——丄右亦()4厂2一厶2(2)在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为£=叫4r2+厶丄若棒为无限长(即L-oo),试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。证明：(1)延长线上一点P的电场强度E=—故由几何关系可得扛4^0r,24亦°厶厂一厶/2厂+厶/2」亦o4异—厶2_仔2]Qdx_」-厶/24亦0L(r-x)2电场强度方向：沿x轴。(2)若点P在棒的垂直平分线上，如图所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为
2、零，因此点P的电场强度E方向沿y轴，大小为E=EysinMg4^0r*2利用儿何关系sina=r!ry,r*=vr24-x2,则e=(l,21rQdxQ1'-厶/24矶L(x2+,)3/2"2J厶2+4/当L-oo时，若棒单位长度所带电荷2为常量，则P点电场强度ETimL—1Q/L2昭)厂Jl+4厂2/厶2其结果与无限氏带电直线周围的电场强度分布相同。习题5-10—半径为R的半球壳，均匀地带冇电荷，电荷而密度为O,求球心处电场强度的大小。解：将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元dq=（ydS=cy27rR2sm0d0,在点0激发的电
3、场强度为dE=—--i（圆环屯场强度）4亦o（”+厂2）3/2由于平行细圆环在点0激发的电场强度方向相同，利用儿何关系，x=Rcos&,y=RsinO9统一积分变量，电场强度大小为dE=「賈厂=（t2^R2sinOdO=—sin^cosOd04亦0（X2+"）3/24亦0r32£o积分得E=sinOcqsOcIO=02£°4£（）习题5-12两条无限长平行直导线相距为心，均匀带冇等量异号电荷，电荷线密度为入（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其屮-•线的垂直距离为%）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场
4、力。<❻》解：（1）设点P在导线构成的平面上，E+E一分别表示正负电导线在P点的电场强度，则有E=E++E］、兀丿262亦ox(a()-x)（2）设F+,F_分别表示止负带电导线单位长度所受的电场力，则有显然有F+=-F_,相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。习题5-15边长为a的立方体如图所示，其表而分别平行于Oxy.Oyz和Ozx平而，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度E=（E^kx）i+E2j（k,E2为常数）的非均匀电场中，求电场对•立方体各表面及整个立方体表面的屯场强度通量。解:如图所示，由题意E与Oxy面平行
5、，所以任何相对Oxy面平行的立方体表面,电场强丿艾的通量为零，即QoabC=©DEFG-。。1伯0ABGF=fE.rfS=j[(E1+fcx)i+E2jl.(J5j)=E2a2考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的屯场分布相同，故冇2YCDEO-Y-ABGF=~^2^同理伽OEF二Je•dS二J[E
6、i+E2j]-dSi)=-ExcrQbcdg=E•dS=J[(E]+ka)i+E2j]•(dSi)=(E}+ka)a2因此，整个立方体表面的屯场强度通量习题5-18-无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为6在平板中部有一半径为r的小圆
7、孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。分析：木题的电场强度分布虽然不具备对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带圆盘的电场叠加，求岀电场的分布，要冋灵活应用。若把小圆孔看做由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度(7=-<7)的小圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和。解：(由5・4例4可知，)在无限大带点平面附近J为沿平而外法线的单位矢量；圆盘激发的电场它们的合电场强度为=Ei+E2=^7X7习题5-20一个内外半径分别为/
8、?]和&的均匀带电球壳，总电荷为Qi，球壳外同心罩一个半径为&的均匀带电球而，球而带电荷为Q2。球电场分布。电场强度是否为离球心距离厂的连续函数？试分析。解：取半径为r的同心球面为高斯面，曲于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。E4/2=厂vRi,该高斯面内无电荷，工q=0，故Q（门-代）/?
9、-用E1=0/?!7?3,高斯血内电荷为Qi+Q2故F二Q1+$匕4_24庇°厂电场强度方向沿矢径方向，各区域的屯场强度分布曲线如
10、图（b）所示。在带屯球面的两侧，屯场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴厂=伦的带点球面两侧，电场强度的跃变量A£=E4_E3习
