第二章--基本初等函数(Ⅰ)

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1、基本初等函数(I)方法技巧q1指数与指数运算疑点透析l.如何理解n次方根的概念若一个数兀的n次方等于Q,那么x怎么用d來表示呢？是兀=需吗？这个冋答是不完整的.正确表示应如下：皈，ft为奇数兀=<±y[cbn为偶数，a>0不存在，n为偶数，a<0•0,a=O主要性质：①当n为奇数时，y[c/l=a；②当n为偶数吋，^=a=—a,a<0・2•如何理解分数指数幕的意义分数指数幕不可以理解为号个a相乘，它是根式的一种新的写法.规定夕=砸Q0,-巴11m,“UN；且/?>1),an=—=——(a>(),nu/?eN且n>l),在这样的规定下，根式与分数指数幕表示相

2、同意义的量，它们只是形式上不同而已.0的正分数指数幕为0,0的负分数指数幕无意义，负数的分数指数幕是否有意义，应视m，/?的具体数而定.3•分数指数幕和整数指数幕有什么异同相同：分数指数幕与整数指数幕都是有理数指数幕，都可以利用有理数指数幕的运算性质进行运算.其运算形式为曲=厂；(/)'=/；(必)「=",式中Q0,方>0,厂、s€Q,对于这三条性质，不要求证明，但需记准.不同：整数指数幕表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幕是根式的一种新的写法，它表示的是根式.4.指数幕的运算在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

3、例——r9a6a2(_7a413、<丿丿例2求1114丄1a=3昨=3恳=3船(解原式=34x33丿例1、例2两道例题都既含有分数指数幕又有根式,应该把根式统一化成分数指数幕的形式,便于计算.难点突破2解读指数函数的四个难点在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握.难点之一：概念指数函数y=ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量”而不能是x的函数；②底数:底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.例1给出五个函数:①y=2X6'；②y=(—6『；®y=n；®y=xx；⑤丿=2“".以上是指数函数的个数是.分析根据所

4、给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义.解析对于①，系数不是I；对于②，底数小于0；对于④，底数兀不是常数；对于⑤，指数是兀的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数•正确的是③，只有③符合指数函数的定义.答案1难点之二：讨论指数函数y=a”（a>0,且oHl）,当。>1吋，是增函数；当0Of.且gHI）在［1,2］上的最大值比最小值大号，求g的值.分析遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对d进行分类讨论，再列出方程并求出a.解当。>1时，函数在［1,2］上的最大值是最小值是偽依题意得°=

5、务即/所以。=

6、；当0G<1时，函数y=ax在［1,2］上的最大值是°,最小值是依题意得a~a2=^即圧=务所以a=g综上可知，0=*或d=*.难点之三：复合指数函数y=^>0,且dHl）与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合吋，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则./［、&.J+x+2例3求函数y=-的单调递减区I'可.分析指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是兀还是兀的函数.此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解.解由一F+兀+2三0知，函数的定义域是［—1,2］.令“=—,+兀+2=—（兀一导+晋，则y=门严11-

7、,当xe［-i,自时，随兀的增大，"增大，歹减小，故函数的递减区间为［—1,为.难点之四：图象指数函数y=aa>0,且dHl）的图象特征是：当。>1时，在y轴的右侧，a越大，图象越往上排；在）'，轴左侧，a越大，图彖越往下排.当0

8、点应注意.重点深化43对数与对数运算学习讲解1•对数的定义一般地，如果/=N(d>0,且aHl),那么兀叫做以d为底/V的对数，记做x=logJV,其中Q叫做对数的底数，N叫做真数.解读：(1)由对数定义可以知道，当。〉0,且。工1时，a'=N0x=W&N，也就是说指数式与对数式实际上是表示小N之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，a呃N=N,即a的1。氐N次方等于N,对数恒等式也是化简或计算的重要公式.2.对数的性质(1)零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幕都是正数，所以/=N(d>0,且dHl)中N总是正数；(

9、2)1的对