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1、第一章作业参考答案1-1.求以下排列的逆序数：（1）134782695（3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10（2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=1-2.在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？（1）解：为偶数，故该项带正号。1-3.用行列式的定义计算：（1）（3）解：（1）（3）1-4.计算下列行列式：（1）（3）（5）（7）解：（1）（3）（5）（7）1-5.证明：（1）（3）证明：（1）（3）1-6.计算下列行列式：（1）（3）解：（1）（3）1-
2、7.解下列方程：（1）解：要使原方程有解，观察可知只有两种可能：①当时，即时，②当时，即时，综上所述，原方程的解为1，-1，2，-21-8.设，试证：证明：根据拉普拉斯定理可知即1-9.用Cramer法则解下列方程组：（1）解：该方程组的系数行列式为，常数向量1-10.（1）问取何值时，下列齐次方程组有非零解？解：要使原方程有解，由定理1.8知解得或。附加题：计算：解：第二次作业参考答案2-1设,试求,并验证。解:,,,,2-2计算下列乘积：（1）（2）（3）（7）（n为正整数）解：(1)(2)(3)（7）令当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；当n=4时，；当n=
3、5时，，……猜想下面用数学归纳法证明当n=1时显然成立假设当n=k时猜想成立即则当n=k+1时成立故2-4设A,B都是n阶矩阵，问下列等式成立的条件是什么？（1）（2）（1）为使则即原等式成立的条件是（2）为使则即原等式成立的条件是2-6设,求所有与A可交换的矩阵解：若矩阵B与矩阵A可交换且A为22矩阵，按矩阵乘法的定义知B也必为22矩阵，不妨设则，，由已知得即由此知所有与A可交换的矩阵为其中a,b为任意常数2-7已知A是对角元互不相同的n阶对角矩阵，即，当时，。证明：与A可交换的矩阵必是对角矩阵。证明：设与A可交换的矩阵B为，则有，即，比较相应元素得，由于，所以，即与
4、A可交换的矩阵B只能是对角矩阵。2-8（1）证明：若A,B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。（2）设A是一实对称矩阵，且,证明：证明：（1）A,B均为n阶对称矩阵,先证充分性：由于A与B可交换，则即AB是对称矩阵再证必要性：由于AB是对称矩阵，则即综上所述，若A,B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。（2）设，由于且,所以2-9求下列方程的逆矩阵（1）（3）（5）（其中）注：其实一般不通过求伴随矩阵来求逆矩阵，因为比较麻烦，通过初等矩阵的推论来求会比较方便。但作为基础，还是要学会通过求伴随矩阵求逆矩阵。解：（1）
5、令且知A可逆，，，(3)令且知A可逆，，，，，，，，，，，，，，，，(5)令且易得，当时2-10设,是A的伴随矩阵，求解：2-11．解下列矩阵方程：（1）（3）解（1）：设，则。即，解得。解（3）：，，2-12，设，，求.解：，，，，，2-13,利用逆矩阵解下列线性方程组：（1）（2）解（1），故（2）,故2-15，设方阵满足方程，证明可逆，并求其逆。解：，，可逆且。2-17，分别写出下列矩阵的行阶梯形，行最简形和等价标准形。（1）（2）。（3）。2-18，设同为矩阵，证明：等价于当且仅当存在m阶可逆阵和n阶可逆阵，使。证明：必要性：先对进行有限次的初等行变换，相当于在
6、的左边进行有限个m阶初等矩阵，即有限个m阶初等矩阵的乘积，可设为m阶可逆阵。再对进行有限次的初等列变换，相当于在的右边乘以有限次的初等矩阵的乘积，设为n阶可逆阵。可转换为，。充分性：，为m阶可逆阵，为n阶可逆阵，，同为矩阵，相当于对进行有限次初等行变换和初等列变换得到，与等价。2-34.B一个一个选项代入计算即得2-51计算：（1），求.,V3-15求下列各矩阵的秩：（1）（3）解：（1）故r=3（3）故r=3第三章作业参考答案3-2设，，，求，使满足下式：。解：化简上式可得：3-3求解下列向量方程：（1），其中；（2），其中解：（1）（2）3-4设，证明：线性无关当且
7、仅当。证明：，充分性，令，因为，所以必有，故线性无关必要性，（反证法）若，则存在不为零的实数k，满足，即线性相关，矛盾！故3-5设，证明：线性相关当且仅当它们的分量成比例。证明：充分性，若的分量成比例，则必存在一个实数k（），，即，故存在，使得，即线性相关。必要性，若线性相关，则必存在不全为0的使得，不妨设，得，即的分量成比例3-6任取，又记，，证明：必线性相关。证明：，因此线性相关。3-9设线性无关，任取s-1个数，令证明仍线性无关。证明：令，即因为线性无关，所以我们有,系数行列式，故，因此，线性无关。3-10设可由线性表示，举反例说明
