教材-综合问题分析

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1、空间几何元素的综合问题分析刘志宇利用投影方法和通过建立三投影面体系，使我们得以在平面上以图示的方式定量表示空间几何元素点、直线、平面的空间关系。前面介绍的点、直线、平面的投影知识，侧重于说明每一基本问题的投影特性、作图原理与方法。由于空间儿何关系的复杂性和多样性，实际问题往往是综合的，需要用到多种作图方法才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：1）分析题意，2）明确所求结果，找岀解题方法，3）确定解题步骤，并作图求解。下面我们举例说明：例1已知三条

2、直线肋、CD和EF,求作一直线0与肋平行，并且与69、莎均相交。（a）（b）（c）分析首先我们可以由图判断岀三条直线彼此交叉，直线上一定在通过①直线且平行于AB直线的平面上，并且与直线①、莎相交。（图a、b）解如图c,i）az?点作一直线与直线平行，即作出该直线的两面投影，这意味着在空间上建立了过〃直线且平行于力£直线的平面。2）利用辅助平面法求莎直线与该平面的交点即延长打与刃相交，这相当于过倂、直线作铅垂面。求该铅垂面与平行于肋直线的平而的交线。求岀交线与莎直线的交点/。3）过交点/作直线0平行与座?直线，即得所求。本题求解利用了辅助平面

3、法。实际上第一步骤所作的平行于畀〃直线的平面就是辅助平面，也是木题求解的关键。例2已知点〃到ACDE的距离为15,求心分析满足题定条件的点的集合，是一个与4宓平面平行且距离15的平面。据点/在所作平面上，由/可求得弘这样的平面有两个，说明此题有两解，一般只须作出其中一解。解如图b,1）^LABCD上一点作4宓所在平面的垂线：过〃、C两点分别作40於的正平线和水平线。然后由力、bf分别作直线垂直于水平线的水平投影和正平线的正面投影。根据垂直定理，这两直线所表示的空间直线与互相垂直。2）在该直线上任选一点/,并求出"两点的距离。利用定比性确定点

4、〃，使〃〃二15mmo3）过点〃作平面平行ABCD,如图c。根据点〃在该平面上，由R求得侬例3以为底边作等腰三角形ABC,点C在力尸上，完成该等腰三角形。b分析由于等腰三角形的高垂直并平分其底边，显然点C应在底边的中垂面上。乂点C在EF匕故点C应为直线左尸与该中垂面的交点。解如图b,1）过底边/〃的中点作/〃的垂直而：过底边弭〃的中点作正平线和水平线,使正平线的正面投影垂直RH,水平线的水平投影垂直ab.2）求防与该正平线和水平线的交点C.3）完成等腰三角形ABC的投影。例4求平行直线和〃的距离。分析平行直线间的距离为一直线上任一点到另一直

5、线的距离。求点到直线的距离可通过点作直线的垂直而（过点与直线垂直的所有直线都在该平而上），求直线与该垂直而的交点获得。如图b。解如图c,1）过直线力〃上任一点/作直线仞的垂直面：由人r分别作水平线和正平线的投影，让水平线的水平投影垂直C〃和正平线的正面投影垂直H/o2）求直线〃与该垂直面的交点〃。3）求点/、〃的距离即为所求。例5求两交叉直线和〃的公垂线。分析如图b,公垂线必然垂直过直线且平行直线血?的平面（确定公垂线的空间方向）。由直线血?上一点向该平而作垂线并相交，与公垂线两垂足共四点在空间形成一矩形关系。由此可找到两垂足（确定公垂线的

6、空间位置）。解如图c,1）过点C作直线平行直线力$：过R、C作直线分别平行Rbf和臼0。形成过直线C"且平行直线弭〃的平面。2）过点〃作该平面的垂线：过//、0作直线分别垂直平而的正平线的正而投影和水平线的水平投影。3）求出垂线与平而的交点A；4）利用矩形关系，过点《作直线平行直线力〃，与直线仞的交点即为垂足/：过土作直线平行RF,与R/相交得厂；过斤作直线平行站,与c〃相交得人4）同理，过垂足/作直线平行直线砒求出另一垂足〃。连接/、〃即得所求。