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1、初中数学竞赛：应用题的解题技巧应用问题是屮学数学的重要内容.它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题.应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列岀方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证.这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析,并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义.下面举出儿个例题，略述一下解应用问题的技能和技巧.1.直接设未知元在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量,可直接
2、设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设未知元法.例1某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数Z比是2:1.求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数.分析本例中要求三个量，即参赛人数、未参赛人数，以及初中一年级人数.由已知条件易知，可直接设未参赛人数为x,那么参赛人数便是3x.于是全年级共有(x+3x)人.由已知，全年级人数减少6人，即(x+3x)-6,①而未参加人数增加6人时，则参加人数是未参加人数的2倍，从而总人数为(x+6)+2
3、(x+6)・②由①，②自然可列出方程.解设未参加的学生有x人，则根据分析，①，②两式应该相等，所以有方程(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6,所以x+6+2x+12二4x-6,所以3x+18=4x-6,所以x=24(人).所以未参加竞赛的学生有24人，参加竞赛的小学生有3X24=72(人).全年级有学生4X24=96(人).说明本例若按所求量次序设参加人数为x人，则未参加人数为这样产生分数，会给计算带来某些麻烦.例2—工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做10个，贝I」提前4］天完成，若他每天少做于个，则要误期3天•问他
4、要2做多少个零件？定期是多少天？分析若直接设这个工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做兰一个零件.根据题目条件，若他每天多做10个，则可减少42天工期，y2所以，(-+10)•(y-41)・y2另一方面，如果他每天少做5个，则要增加3天工期，因此，"(討(y+3)•显然，将此两式联立，解出X,y即可.解设工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做x/y个，依分析有方程组x1(一+10)(y-4-)=x,y2(--5)(y+3)=x.y整理得10y-47X-=45,①2y・5y+3X兰=15②y②X2+①得—=50,x=50y,y将x=50y
5、代入②得即仁k答工人要做1350个零件，定期为27天.例3—队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等.起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？解设起初有汽车m辆，开走一-辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人.由于m$2,nW32,依题意有22m+l=n(m-1).所以22m+1m=22+23m-1因为n为自然数，所以23/m-l为整数，因此即m=2或m=24.当沪2吋，n二45(不合题意，舍去)；当沪24吋，
6、n=23(符合题意).所以旅客人数为：n(m-l)=23X(24-1)=529(人).答起初有汽车24辆，有乘客529人.注意解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性，并根据情况做具体讨论.2•间接设元如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法.例4若进货价降低8%,而售出价不变，那么利润可由目前的p%增加到(p+10)%,求P-分析本题若直接设未知元为x,则不易列方程，为此，可间接设元，设进货价为x,则下降后的进货价为0.92x.由于售出价不变，
7、它可用以下方程式表示：x(l+p%)二0.92x[l+仃0+p)%].解设原进货价为X,则下降8%后的进货价为0.92x.根据题意售货价不变，故有以下方程x(l+0.01p)=0.92x[l+0.01(p+10)],约去x得1+0.Olp二0.92[1+0.01(p+10)],所以1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092,所以(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1,B
8、J0.0008p=0.012,所以p=15.答原利润为15%.例5甲乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，它们分别从直径AB两端同时相向起跑.第一次相遇时离
9、A点100米，第二次相遇时离B点60米，求圆形跑道的总长.分析与解如图1—76,设圆形跑道总长为2S,又设甲乙的速度分别为V,W,再设第一次在C点相遇，则第二次相遇有以下两种情况
