初中数学阿氏圆题目关于一道求最值问题引发探讨

《初中数学阿氏圆题目关于一道求最值问题引发探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、一道求最值题目引发的探究如图，在bABC中，BC=4,AB=2ACf则aMC的面积的最大值为这道题目乍一看，应该不是很难，求三角形的面积，有多种方法,可以用底X高F2,也可以用海伦公式(已知三角形三边a,b,c,贝ij(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]=sqrt[(1/16)(a+b+c)(a+b・c)(a+c・b)(b+c・a)]=1/4sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]),还可以用三角函数法求解(已知三角形两边比b,这两边夹角C,贝91.S=2absinC,即两夹边之积乘夹角的正弦值。)这些都是代数方

2、法，而数学往往是数形结合求解，尤其是在几何题目里。那如何用代数法求解呢？直接套用求面积最基本的公式好像不是那么容易就能解决，因为高不知道是多少。代数法：(方法一，海伦公式)假设AC二X,则AB=2AC=2X,由海伦公式得:c3x+4/3x+4、z3x+4.、z3x+4八Swc二｛二—x(二一・x)x(—_2x)x(——_4)_J—9x4+160?_256~4根据三角形三边关系可以得到:兀+2兀>4得出亠兀<4x+4>2x3令t=x2,则-<^<16,9所以c3x+4/3x+4、z3x+4、z3x+4八Swc=t^—x(—■x)x(——_2x)x(——_4)_丁-9/+16肿一256-4=7

3、-9/2+160-256-4当t为对称轴时，一晶/3x+4,3x+4、」x+4小、3x+4..W—・x)x(—_2x)x(—_4)J—9疋+160?—2564J-9八+160—256416T（方法二、三角函数求解）由已知1条件知1,S^bc=—x2xxxxsinA=x2sinA=x271-cos2AcosA=(2x)2+x2-422x2xxx5x2-164x2所以Swe=—x2xxxxsinA2=x2sinA=x2a/1-cos2A_J・9/+i6(k2-2564剩下的步骤和方法一样了。这两种方法都是把几何问题转化成为了代数问题。那如果用几何方法来解决的话怎么处理呢？几何法：（构建相似三角

4、形）在AB上取点D,使得AC=2AD,贝I」AC:AD=AB:AC=2:1,XZA是公共角，AADC-AACB,则CD:BC=1:2,所以CD=2,又因为2AD二AC,°'BCD■=3:4AB=2AC,所以AD=1/4AB,所以而只有当CD丄BC吋，ABCD的面积最大，此吋AABC的面积最大。如图AB=2X,AC=X,BC=4,CD=2,BD=^X,当CD丄BC时'在直角三角形BCD里，由勾股定理求得，x2=80/9,'BCD对比这三种方法，前面两种方法是把几何问题转化成为了代数问题，使得在求解过程中不需要考虑图形了，而最后面这种构建相似三角形的方法，通过作图和计算求岀面积最大值，数形结合

5、思想发挥了很大的作用。写于2018.8.8号