第二章-一元函数微分学

《第二章-一元函数微分学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第二章一元函数微分学导数的概念定义设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，若自变量x在点X。处的改变量为△x(x0+Ax仍在该邻域内).函数y二f(x)相应地有改变量△『=f(xo+Zx)・f(xo),若果极限存在,则称此极限值为函数沪f(x)在点Xo处的导数，记作或f'(Xo),即f(x0)=.此时称函数y二f(x)在点Xo处可导.如果上述极限不存在，则称函数y二f(x)在点X。处不可导.下面是两种等价形式：f'(Xo)==•当Xo=0,W:r(0)=,如果y二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导,由于对于(a,b)内每

2、一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x)在(a,b)内的简称为，记作或一—.f(x)在点x0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x0处的函数值，即f(x0)=•注意：f'(xo)工［f(x°)y■.・/(兀0+山)一/(旺)如果y=f(x)在点X。及其左侧邻域内有定义，当hm—T—存在时，则称该极值为f(x)在点X。处的记为—.同理，定义右导数性质函数y=f(x)在点x0处可导<・・>2.2.左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数.导数的几何意义如果函数y二f(x)在点X。处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)

3、在点(xo,f(x0))处存在切线,且切线斜率为_•可导函数与连续性的关系函数y二f(x)在点xo处可导，是函数y二f(x)在点xo处连续的条件.如u二u(x),v=v(x)都在x处可导，由导数的定义可以推得u±v在x处也可导，且(u±vf=(导数的和差运算公式).导数的运算3.1基本初等函数的导数公式c'=_(c为常数)(兀")‘二(nGR)(axy=(exy=(logx)=(InxY=(sinx)f=(cosxY=(tanx)z=(cotx)f=(arcsinx)f-(arccosx)z=(arctanx={arccotxY=3.2导数的四则运算法则设u二u(x),v=

4、v(x)都在X处可导侧(cuf=(c为常数)(u±vf=(uvf=(；)z=(vHO)(^=(vHO,c为常数)3.3反函数的求导法则设函数x=(p(y)在某个区间内单调町导，且啓(y)H0,则其反函数y二f(x)在其对应区间内也可导，且有f(x)=•3.4复合函数的求导法则设y=f(u)zu=g(x)复合成y=f[g(x)],若u二g(x)在点x处可导"二f(u)在相应点u=g(x)可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x可导,且有链式法则旷=3.5隐函数的求导法则设y=f(x)是由方程F(x,y)=0确定的.求V只须直接由方程F(x’y)=0关于x求导，将y看做是依复合函

5、数链式法则求之.3.6由参数方稈确定的函数的求导法则设y二y(x)是由{所确定的.其中(p⑴，叭t)为可导函数，且卩⑴hO,则空_一一一3.7对数求导法对于幕函数y=或y由若干个函数连乘、除、开方所构成,通常可以先用—改变函数类型.如y=u：两端取对数：,化幕指函数为隐函数，如y=N),两端取对数：化为隐函数,然后利用隐函数的求导法则求导.3.8高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,对于求n阶导数，需要注意从屮找出规律，以便得到n阶导数的.常见n阶导数公式：(ax)(n)=(ex)(n)=(xn)(n)=（xw）（fl）=（正整数m

6、（n）=4.洛必达法则4.1未定型〃訂的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：①在点X。的某一邻域内(点X。可除外)有定义，且XT%limFB"；兀fo②f'(x)与F(x)在该邻域内存在，且F'(x)H0;(或为8).lim晋弓存在(或为^),则limA->X0厂I兀丿X->X0⑵设函数f(x)与F(x)满足以下条件：①当

7、x

8、>N>0时,f(x)与F(x)有定义，且]jm/(x)=O,]jmF(x)=0；・YT8XT8②当

9、x

10、>N>0时f(x)与F(x)都存在，且F'(x)HO;®limFx）f(x)存在减为f则ijjp耳r（或为8）・4.2未定型〃：〃的极限⑴

11、设函数f(x)与F(x)满足以下条件：①在点X。的某一邻域内(点X。可除外)有定义，且lim/G)=°°，入f0limF(x)=°°；牙TXo②f'(x)与F(x)在该邻域内存在，且F'(x)HO;③lim晋吕存在(或为8),则lim#^=A—>X0十^)"TXo匸I兀丿⑵设函数f(x)与F(x)满足以下条件：①当

12、x

13、>N>0时,f(x)与F(x)有定义，且Hm/(兀)=00,]imF(x)=oo；XT8②当

14、x

15、>N>0时f(x)与F(x)都存在，且F(x)HO;（或为g）・③lim件]存在减为°