第二章一元函数微分学(上)

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1、第二章：一元函数微分学　　本章重点是掌握导数与微分的概念，用定义确定函数在某点的可导性，掌握导数与微分的计算方法，掌握中值定理的条件、结论及应用，用导数研究函数的性态．本篇难点是中值定理的应用．§2.1导数与微分本节重点是掌握导数和微分的概念，能用定义确定函数在某点的可导性、掌握导数与连续之间的关系、掌握导数与微分的计算方法．特别是复合函数、参数方程、隐函数、反函数、分段函数的求导方法．●常考知识点精讲一、导数概念1．导数定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限存在，则称在点可导，并称该极限值为在点的导数，记作，或，等．2．右导数定义：设函数在点的某个右邻域内有定义，若极

2、限存在，则称该极限值为在点的右导数，记作．3．左导数定义：设函数在点的某个左邻域内有定义，若极限存在，则称该极限值为在点的左导数，记作．评注：左、右导数常用于判定分段函数在分段点的可导性．4．函数在区间上的可导性定义：若函数在区间内的任意点处导数都存在，则称在区间内可导，又若都存在，则称在区间上可导．[例1.1]设存在，求．解：．二、函数可导的条件命题1：在可导的必要（非充分）条件是在处连续．命题2：在可导的充分与必要条件是都存在且相等．[例1.2]设函数，为了使函数在处可导，应取什么值？解：在处可导，必有在处连续由于，而在处连续的充要条件为，故又而在处可导充分必要条件为，

3、即故当，时，在处可导．三、导数的几何意义与物理意义1．几何意义函数在处的导数是曲线在点处切线的斜率．2．物理意义质点作直线运动，时刻质点的坐标为，是质点在时刻的瞬时速度．四、导数的计算1．基本初等函数的导数公式（1）（常数）（2）（为实数）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）2．导数的四则运算法则设都可导，则(1)；(2),特别（为常数）；(3)().3.复合函数求导设在处可导,在对应的处可导,则复合函数在处可导,且,即4.反函数求导若在某区间内单调、可导,且,则其反函数在对应的区间内也可导,且[例1.3]填空⑴

4、设，则；⑵设，则；⑶设是单调函数的反函数，且都可导，如果=_________解：⑴；⑵由于这是极限函数，应先求出的表达式再求导数所以；⑶由于若是函数的反函数，，而存在，且，则．故　　　　．五、高阶导数的概念1．高阶导数定义:如果作为的函数在点可导,则的导数称为的二阶导数记为或,.一般地,函数的阶导数为,也可写作或2.高阶导数运算法则设在处阶可导,则(1)(2)(为常数)(3)3．几个常见的初等函数的阶导数公式（1）（2）（3）（4）（5）[例1.4]填空题⑴已知为二阶可导函数，且，则；⑵已知函数由方程，则；⑶设函数，则．解：⑴由于，所以．⑵由方程可得，当时，方程两端对求导得

5、将代入得，方程两端对继续求导得将代入得，，⑶由于，于是．六、微分的概念1．微分定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量有增量时，若存在与无关的常数使得函数的增量可表为：（则称在点可微，称为在点的微分．评注：在点的微分就是该函数在点函数增量的线性主要部分．2．微分的几何意义函数在点处的微分，在几何上表示曲线在点的切线当自变量在点处有增量时，切线纵坐标的增量．3．可微与导数关系定理：在点可导在点可微．[例1.5]填空题⑴若函数，其中是可微的正值函数，则；⑵设函数由方程确定，则．解：⑴由于函数可写为，所以，故．⑵这是一个求隐函数微分的问题．由方程可得，当时，．在方程两端同时求

6、微分，有代入，得故．●●常考题型及其解法与技巧一、导数与微分概念的理解[例2.1.1]选择题⑴设在的一个邻域内有定义，且，则在可导等价于（A）存在（B）存在（C）存在（D）存在⑵设函数在处连续，下列命题错误的是（A）若存在，则（B）若存在，则（C）若存在，则（D）若存在，则解：⑴（A）是在处右导数存在的充要条件，（C）、（D）仅是在处导数存在的必要条件．对于（B），由于，所以（B）是在可导的充要条件，故应选（B）．⑵如存在，而分母极限为零，所以分子极限为零，又在处连续，故，进而存在，从而选项（A）、（C）正确；若存在，而分母极限为零，所以分子极限为零，又在处连续，故，即选项

7、（B）正确；由排除法可得应选选项（D）．[例2.1.2]设在处存在左、右导数，则在点（A）可导（B）连续（C）不可导（D）不一定连续解：在点左、右导数存在并相等时，在点可导；如左、右导数存在并不相等时，在点不可导，题设中只有在点左、右导数存在，并没有指明它们是否相等，因此（A）、（C）不正确；由左、右导数的定义及题设和都存在，因此和所以函数在点连续．故应选（B）．[例2.1.3]函数在可导点处有增量，对应的函数值增量的线性主部等于，则．（A）（B）（C）（D）解：因为在处可导，从而在处可微，此时函数值增量的线性主部